Álgebra (Sistema lineares)

Para resolver este problema de otimizacao, consideramos x1, x2 e x3, respectivamente, o numero de
toneladas de A, B, e C a ser produzido. Note que o numero maximo de horas de trabalho da maquina X
´e 80 horas. Sendo assim(vide perıodos de tempo), tem-se que
2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
Note tambem, que o numero maximo de trabalho da maquina Y ´e de 60 horas. Logo,
2x1 + 2x2 + 3x3 = 60
Temos entao, duas equacoes lineares que devem ser resolvidas simultaneamente, isto ´e, um sistemas com
duas equacoes e tres incognitas:

2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
2x1 + 2x2 + 3x3 = 60
Para resolver este sistema, podemos multiplicar a primeira linha por −1 e somar o resultado com a segunda
linha:

2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
−x2 − x3 = −20
Note que x3 sera a variavel livre do sistema. Resolvendo a segunda equacao temos:
x2 = 20 − x3
e por sua vez
x1 =
−3(20 − x3) − 4x3 + 80
2
=
20 − x3
2
Como x3 ´e uma variavel livre, podemos escolher qualquer valor para x3, e assim determinar x1 e x2. Por´em,
nao podemos ter valor de toneladas negativos, quanto menos igual a zero. Logo, devemos escolher valores
para x3 de modo que x1 e x2 sejam positivos, ou seja
0 ≤ x3 < 20
Como exemplo, se tomarmos x3 = 10, teremos x1 = 5 e x2 = 10. Portanto a resposta do problema
para esta escolha de x3 seria: “Devem ser levados para as m´aquinas X e Y, 5 toneladas do produta A, 10
toneladas do produto B e 10 toneladas do produto C”