Radiciação III

por William Lima Qui 19 Jun 2014, 03:59

Sendo A= $Radiciação III Gif$ , B= $Radiciação III Gif$ e C= $Radiciação III Gif$ , então:

A)A < B < C
B)B < A < C
C)C < A < B
D)C < B < A
E)B < C < A

por MatheusMagnvs Qui 19 Jun 2014, 10:00

A ideia desse tipo de questão é colocar todos os valores sob um radical de mesmo índice.

Vejamos:

Temos, por exemplo, (x)^1/n [lê-se "raiz n-nésima de x"]. Podemos multiplicar numerador e denominador do expoente 1/n por um mesmo número qualquer k SEM ALTERAR a igualdade. Ou seja (x)^1/n = (x)^1.k/n.k ou (x)^1/n = (x)^1.4/n.4 e assim por diante.

Isso é evidente, pois, e.g. 1/2 = 1.4/2.4 = 4/8 = 1/2 (isto é, podemos multiplicar numerador e denominador por um mesmo número qualquer e mantermos a igualdade). Depois disso, transformarmos o expoente fracionário num radical cujo índice é o valor do denominador.

Agora vamos ao exercício:

Como os índices de A,B e C são, respectivamente, 3, 4 e 12, podemos intuitivamente concluir que podemos transformar o índice 3 e 4 em 12, pois 3 e 4 são múltiplos de 12, de modo a obter três expressões A,B e C de mesmo índice no radical.

Dito isso, e pelo que foi previamente explicado, podemos resolver:

A = (4)^1/3 = (4)^1.4/3.4 = (4)^4/12 = raiz de índice 12 de 4^4 = raiz de índice 12 de 256 (pois 4^4 = 256).

B = (6)^1/4 = (6)^1.3/4.3 = (6)^3/12 = raiz de índice 12 de 6³ = raiz de índice 12 de 216 (pois 6³ = 216)

C = raiz de índice 12 de 280.

Agora temos três expressões sob um radical de mesmo índice.

Observe que

√2 < √3 < √4 < √5 < ...

e

∛2 < ∛3 < ∛4 < ∛5 < ...

Assim, quando consideramos radicais de mesmo índice, quanto maior o radicando (número sob o radical), maior o seu valor.

Valendo-se dos valores encontrados para A e B, quando convertidos em um radical de índice 12, temos:

raiz de índice 12 de 216 < raiz de índice 12 de 256 < raiz de índice 12 de 280

.'. B < A < C, conforme a alternativa B.

Como comentário pessoal: imagino que essa questão seja de um colégio militar, pois foi colocada na área de ensino fundamental e já resolvi exercícios parecidos. Entretanto, gostaria de observar que já vi uma questão idêntica na SEGUNDA FASE da UNICAMP, só sendo alterados os valores dos radicandos, pois até os índices eram iguais. E também já vi questões de polinômios do CN mais difíceis do que questões da segunda fase da FUVEST. Enfim. Apenas observação.

Espero ter ajudado. Very Happy

por William Lima Qui 19 Jun 2014, 15:08

Boa tarde, Matheus. Primeiramente, valeu pela ajuda! Essa questão provavelmente é de alguma instituição militar, pois ela foi retirada do livro Problemas Selecionados de Matemática, do autor Antônio Luiz Santos, conhecido como Gandhi. Esse livro possui só questões de olímpiadas de matemática, nacionais e internacionais e, também, questões de variadas instituições militares, tais como Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar, etc.. No mais, obrigado pela resolução, abraço!

Só por curiosidade, se quiser saber mais: http://vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=244

por William Lima Qui 19 Jun 2014, 16:03

Resumindo: essas questões de radiciação onde devemos analisar quem é o maior (ou menor), devemos tirar o mmc dos índices, e fazer as multiplicações convenientemente de forma a obter o resultado do mmc em todos os índices?

por MatheusMagnvs Qui 19 Jun 2014, 19:45

O Gandhi é um grande autor, embora eu não consiga, nem por decreto, entender esse apelido, hahaha. Razz

Isso mesmo, caro William, o sr. entendeu perfeitamente. Nesse caso, para nossa sorte, o mmc de 3,4 e 12 é o próprio 12, que já é uma das expressões. Mas, naturalmente, haverá questões em que o mmc não será o mesmo que um dos índices das expressões a serem avaliadas.

Acho bem curioso que, pelo menos para mim, a maioria das questões de matemática dessas instituições de matemática de ingresso ao ensino médio (especialmente as do Colégio Naval e do Colégio Militar do Rio de Janeiro) são bem mais difíceis, interessantes e criativas do que as questões de matemática tradicionais de ingresso ao ensino superior, como FUVEST, UNICAMP, Unifesp etc. Imagino que, pelo menos aos que se dedicam realmente, a preparação interna no CMRJ e no CN, além da EPCAR e outros análogos, deva ser bastante rigorosa e de alta qualidade. Smile

Abraços!

por William Lima Qui 19 Jun 2014, 23:04

Exatamente, Matheus. O concurso do Colégio Naval é o mais difícil da América Latina, de nível fundamental. São questões muito bem elaboradas e na maioria das vezes retiradas de livros russos, peruanos, olimpíadas do México, Espanha... a parada é sinistra rsrs. Quanto ao Gandhi ele é professor lá do Elite Rio, e o cara é idêntico ao Mahatma Gandhi! hahaha Abraços!

por MatheusMagnvs Sex 20 Jun 2014, 08:20

Honestamente, eu votaria nas fases avançadas da OBM para esse título, mas isso é algo pessoal.

Eu passei na prova de matemática, quando prestei (apenas para me avaliar), mas acabei perdendo o horário e não fui fazer aquela seguinte. Razz

Entendo. Bom, se ele fizer na matemática o que Gandhi fez na política, ele merece o título mesmo. Razz