Questao sobre sistema linear de equações!!!!!

por Pedroandreata Dom 15 Jun 2014, 21:20

Se o sistema linear x + by + cz = 1 , em que b e c são números reais, tem infinitas soluções, então, b + c é igual a:
x + y + z = 2
3x + 2y = 4

A) 0.
B) 1.
C) 3.
D) 2.

A resposta correta é a letra a, mas preciso da resolução!!!

por **Jader** Ter 17 Jun 2014, 00:18

Colocando o sistema na forma matricial temos:

$\begin{bmatrix} 1 &b &c \\ 1& 1 &1 \\ 3& 2& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}$

Como o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções, então temos que:

$Det\begin{bmatrix} 1 &b &c \\ 1& 1 &1 \\ 3& 2& 0 \end{bmatrix}=Det\begin{bmatrix} 1 &b &1 \\ 1& 1 &2 \\ 3& 2& 4 \end{bmatrix}=Det\begin{bmatrix} 1 &1 &c \\ 1& 2 &1 \\ 3& 4& 0 \end{bmatrix}=Det\begin{bmatrix} 1 &b &c \\ 2& 1 &1 \\ 4& 2& 0 \end{bmatrix}=0$

Com isso, calcularemos o determinante da matriz principal para achar uma relação entre b e c, com isso temos:

$Det\begin{bmatrix} 1 &b &c \\ 1& 1 &1 \\ 3& 2& 0 \end{bmatrix}=0\Rightarrow c=3b-2$

Agora resolvendo um dos outros determinantes que contenham somente a incógnita b ou c para acharmos o valor dela e assim substituir na relação achada acima e descobrir o valor da outra, portanto temos:

$Det\begin{bmatrix} 1 &b &1 \\ 1& 1 &2 \\ 3& 2& 4 \end{bmatrix}=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}$

Assim, substituindo o valor de b na relação achada acima temos:

$c=3b-2\Rightarrow c=\frac{3}{2}-2\Rightarrow c=-\frac{1}{2}$

Logo,

$b+c=\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=0$

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