Pares de números

Determinar dois números de modo que: A soma deles seja igual a um quadrado perfeito e a diferença seja igual a raíz desse quadrado perfeito. Vejam um exemplo:

36 + 28 = 64
36  - 28 = 8

Existe alguma maneira de descobrir todos os pares ?

Obrigado

alexandremm12 escreveu:Determinar dois números de modo que: A soma deles seja igual a um quadrado perfeito e a diferença seja igual a raíz desse quadrado perfeito. Vejam um exemplo:

36 + 28 = 64
36  - 28 = 8

Existe alguma maneira de descobrir todos os pares ?

Obrigado

Boa tarde,

x = o maior dos números
y = o menor dos números

x + y = k²
x - y = k

Soma:
2x = k² + k

k² + k - 2x = 0

k = [-1 ± √(1+8x)]/2

Para que (1+8x) seja um quadrado perfeito, teremos que ter:
x = 1, 3, 6, 10, 15, ..., ou seja, um número triangular; logo, "x" tem o formato: n(n+1)/2.

Dando-se a "x" esses valores, iremos obter:
k = 1, 2, 3, 4, 5, ...

Aplicando-se esses pares de valores (x,k) às fórmulas iniciais da questão, vem:
Para (x,k) = (1,1):
1 + y = 1²
y = 1 - 1
y = 0

Para (x,k) = (3,2):
3 + y = 2²
y = 4 - 3
y = 1

Para (x,k) = (6,3):
6 + y = 3²
y = 9 - 6
y = 3

Para (x,k) = (10,4):
10 + y = 4²
y = 16 - 10
y = 6

Para (x,k) = (15,5):
15 + y = 5²
y = 25 - 15
y = 10

Teremos, portanto, os seguintes valores adequados para x,y,k:
x____y___k
1____0___1
3____1___2
6____3___3
10___6___4
15__10___5
21__15___6
28__21___7
36__28___8
.................
.................

Analisando o exemplo dado, temos:
36 + 28 = 8²
36 - 28 = 8

x = 36
k = 8

36 + y = 8²
y = 64 - 36
y = 28

36 é igual ao 7º número triangular.
28 é igual ao 6º número triangular.

Conclusão:
"x" e "y" devem ser dois números triangulares consecutivos, sendo "x" o maior deles.



Um abraço.

Muito obrigado,Ivomilton
Gostei da sua solução
Um abraço