Triângulo
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Triângulo
por bobhurley Qua 23 Abr 2014, 15:40
O triângulo ABC é retângulo e isósceles de cateto A. Se AM = MC e BC = BD, calcule a medida do segmento BE.
Agradeço desde já
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bobhurley- Iniciante
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Re: Triângulo
por Elcioschin Qua 23 Abr 2014, 16:03
Vou fazer AC = AB = a ---> AM = cm = a/2 ---> BC = BD = a.√2 ---> CD = 2.√ 2.a ---> A^BC = A^CB = 45º ---> C^DM = α
DM² = CM² + CD² - 2.CM;CD.cosα ---> Calcule DM² em função de a, α
Lei dos senos no triângulo MCD ---> MC/senα = DM/cosA^CD ---> MC²/sen²α = MC²/sen²45º ---> (a/2)²/(1 - cos²α) = DM²/(1/2)
Substitua simplifique, e calcule cosα e depois senα
Depois aplique Lei dos Senos em BDE e calcule BE
DM² = CM² + CD² - 2.CM;CD.cosα ---> Calcule DM² em função de a, α
Lei dos senos no triângulo MCD ---> MC/senα = DM/cosA^CD ---> MC²/sen²α = MC²/sen²45º ---> (a/2)²/(1 - cos²α) = DM²/(1/2)
Substitua simplifique, e calcule cosα e depois senα
Depois aplique Lei dos Senos em BDE e calcule BE
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Re: Triângulo
por bobhurley Qua 23 Abr 2014, 18:51
Olá Elcio, muito obrigado! O senhor acha que seria possível uma resolução apenas usando relações métricas, LGs e semelhança?
bobhurley- Iniciante
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Re: Triângulo
por Elcioschin Qui 24 Abr 2014, 09:30
Acho que é possível sim
E daria também para resolver por Geometria Analítica, colocando C na origem e B, D no eixo x:
C(0, 0), A(a.√2/2, a.√2/2)), B(a.√2, 0), D(2.√2.a, 0)
Calcule a equção das retas AB, AC e MED, depois calcule o ponto de encontro de MED com AB e a distância BE
E daria também para resolver por Geometria Analítica, colocando C na origem e B, D no eixo x:
C(0, 0), A(a.√2/2, a.√2/2)), B(a.√2, 0), D(2.√2.a, 0)
Calcule a equção das retas AB, AC e MED, depois calcule o ponto de encontro de MED com AB e a distância BE
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Triângulo
por Medeiros Qui 24 Abr 2014, 18:54
uma outra visão...
Considere o triângulo ACD. Como BC=BD, temos que AD é uma mediana. Como AM=CM, temos que DM é outra mediana. Portanto o ponto E é o encontro das medianas, ou seja, o baricento do ∆ACD. Logo,
BE = AB/3.
Mas ∆ABC é isósceles de cateto BC=a. Então, por Pitágoras,
a² = AB² + AC² -----> a² = AB² + AB² -----> a² = 2.AB² -----> AB = a/√2 -----> AB = a√2/2
∴ BE = (a√2/2)/3 -----> BE = a√2/6
Considere o triângulo ACD. Como BC=BD, temos que AD é uma mediana. Como AM=CM, temos que DM é outra mediana. Portanto o ponto E é o encontro das medianas, ou seja, o baricento do ∆ACD. Logo,
BE = AB/3.
Mas ∆ABC é isósceles de cateto BC=a. Então, por Pitágoras,
a² = AB² + AC² -----> a² = AB² + AB² -----> a² = 2.AB² -----> AB = a/√2 -----> AB = a√2/2
∴ BE = (a√2/2)/3 -----> BE = a√2/6
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Re: Triângulo
por Obi-Wan Ter 10 Jun 2014, 13:00
Trace um segmento de A a D, perceba que AB e DM são medianas, portanto o ponto E é o baricentro do triângulo ACD.
Sabemos que o triângulo retângulo ABC é isósceles, logo seus dois ângulos congruentes são iguais a 45º e os lados opostos a esses ângulos são iguais a (a) , por conseguinte :
AB=a
Como AB é mediana e o ponto E é baricentro, temos :
e 
A pergunta é quanto vale a medida do segmento EB, e já demonstramos que EB vale um terço de a ,ou seja, um terço da medida do segmento AB
Sabemos que o triângulo retângulo ABC é isósceles, logo seus dois ângulos congruentes são iguais a 45º e os lados opostos a esses ângulos são iguais a (a) , por conseguinte :
AB=a
Como AB é mediana e o ponto E é baricentro, temos :
A pergunta é quanto vale a medida do segmento EB, e já demonstramos que EB vale um terço de a ,ou seja, um terço da medida do segmento AB
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Re: Triângulo
por Medeiros Ter 10 Jun 2014, 22:51
Obiwan e Raimundo,
vocês têm razão e, vendo bem, falamos todos a mesma coisa (BE = AB/3).
Não sei por que cargas d'água, tendo chegado a essa conclusão, me confundi que a hipotenusa fosse 'a' (BC=a) e calculei BE em função disso.
Vou Ia riscar a parte da minha resolução que está "sobrando" mas não é mais possível editar.
Abs.
vocês têm razão e, vendo bem, falamos todos a mesma coisa (BE = AB/3).
Não sei por que cargas d'água, tendo chegado a essa conclusão, me confundi que a hipotenusa fosse 'a' (BC=a) e calculei BE em função disso.
Abs.
Medeiros- Grupo
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