Area- Semelhança

A Figura 3 ao lado é comumente reconhecida como um “fractal” (onde pequenas partes são cópias reduzidas do todo) e é constituída por uma infinidade de círculos de raios cada vez menores. Sua construção é dada a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero ABC (veja a figura 1), cujo lado tem comprimento L, considere a circunferência nele inscrita. A reta paralela ao lado BC e tangente à circunferência inscrita intercepta o lado AB no ponto D e o lado AC no ponto E, formando um novo triângulo eqüilátero ADE. Fazendo construções equivalentes para os lados AC e AB, determinaremos dois novos triângulos eqüiláteros BFG e CHI. Para cada um dos triângulos, ADE, BFG e CHI, repetimos o processo acima, obtendo três novas circunferências inscritas e nove triângulos menores, como na Figura 2.  Esse processo pode ser repetido indefinidamente, gerando círculos cada vez menores e formando a Figura 3.

Lembre-se que o raio do círculo inscrito é igual a um terço da altura do triângulo eqüilátero.

a)    Calcule a área do primeiro círculo construído e a área de um dos círculos menores da  Figura 2, em função do lado L do triângulo inicial.

b) As somas das áreas dos círculos congruentes (de mesmo raio), em ordem decrescente, formam uma progressão geométrica. Calcule a soma dos infinitos termos dessa progressão.
Eu fiz e deu os seguintes resultados:



a)  Círculo maior: ( ∏*L²)/12
    Círculo menor: (∏*L²)/108
b)  (3*∏*L²)/32
Peço a ajuda de vocês para ver se resolvi o exercício corretamente

Tudo certo

a) R1 = (1/3).(L.√3/2) = L.√3/6 ----> S1 = pi.R1² = pi.L²/12

De modo similar R2 = (1/3).(L/3).√3/2 = L.√3/18 ----> S2 = pi.L²/108

b) q = S2/S1 ---> (pi.L²/108)/(pi.L²/12) ---> q = 1/9

S = a1/(1 - q) ---> S = (pi.L²/12)/(1 - 1/9) ---> S = 3.pi.L²/32

vlw cara.