uefs numeros complexos

Os números complexos z1, z2,...zn têm módulos iguais e constituem no plano complexo
os vértices de um polígono regular.
Se z1 for real positivo, então o produto z1 . z2 . ... . zn será
A) real, se n for ímpar, e imaginário, se n for par.
B) imaginário, se n for ímpar, e real, se n for par.
C) real negativo, se n for ímpar, e positivo, se n for par.
D) real positivo, se n for ímpar, e negativo, se n for par.
E) real, sendo que seu sinal independe de n ser par ou ímpar

Olá lipoitvit,

Dos dados do enunciado, temos que esses números complexos são as raízes n-ésimas de um número real positivo k (pois se z1 é real e z1 elevado a n é igual a z, então z será real, sempre).

Ou seja:


Analisando a equação em azul pelas Relações de Girard, é fácil dizer o sinal do produto das raízes "r". Segue-se que:


Como z1, z2, ..., zn são raízes da equação, seu produto segue a regra acima. Chegamos na alternativa D.

PS: A alternativa E é vaga e "pega" o candidato que sabe só metade do exercício... mas também é verdadeira!

Exemplo para n = 3

z1 = k.cis0
z2 = k.cis(2.pi/3) = k.(- √3/2 + i/2)
z3 = k.cis(4.pi/3) = k.(- √3/2 - i/2)

z1.z2.z3 = k.k.(- √3/2 + i./2).k.(- √3/2 - i./2) = k³.(3/4 + 1/4) = k³ ---> Real positivo

Faça para n = 4 e prove que é negativo

nossa que complexo, vou ver se entendo, se tiver uma duvida eu pergunto e muito obrigado essa questao tava horrivel

desculpa encher voces com isso, mas esse assunto pra min é o mais dificil, eu realmente sei a teoria, eu estudei e tudo, mas com tantas pperguntas minha parece que nao sei de nada, eu tentei entender mas tem coisa que eu nao interpreto direito eu acho e nao tem no livro:

o que significou para a questao essa parte do enunciado:
 têm módulos iguais e constituem no plano complexo
os vértices de um polígono regular.


e porque exatamente é uma raiz enesima?  e o calculo é pra provar que k é real? e como fez esse calculo, essa formula é qual? 

eu entendi que k é o modulo, mas como achou esse modulo assim, conheço o modo de raiz de a ao quadrado e b ao quadrado, sou pessimo nesse assunto desculpa mesmo. e porque (m-1)pi dividido por n?

lipoitivit

Pelas suas perguntas nota-se que você não conhece toda a teoria sobre números complexos.

Dê uma lida, em qualquer livro/apostila ou mesmo na internet:

Números Complexos - Forma Trigonométrica - Adição, Multiplicação, Divisão e Radiciação.

eu li, inicio ao fim, e nao vi radiciaçao, entao muito obrigado vou da uma olhada, vou ver se acho na net. valeu elcioschin

Concordo com o mestre: sua base em números complexos é fraca... recomendo estudar mais sobre isso.

***

Como z1, z2, ..., zn tem módulos iguais, suas distâncias até o centro (0; 0) do Plano de Argand-Gauss são as mesmas. Ou seja, eles são pontos de um círculo, também no plano de Argand-Gauss, de raio M, onde M é o módulo de z1, z2, ..., zn.
Como z1, z2, ..., zn constituem os vértices de um polígono regular, temos que a diferença de ângulo entre z1 e z2, entre z2 e z3, (...) e entre zn e z1 será sempre igual, ou seja, a diferença entre seus argumentos será sempre igual.
Essas duas condições nos dizem que eles são raízes enésimas de um número. Como z1 é real positivo, a charada está morta: todos esses números complexos são raízes enésimas de um número real e positivo.

Segunda explicação possível para ser uma raiz enésima(mais boba):

Spoiler:

***

O "cálculo" disso estava escrito na minha resposta: "se z1 é real positivo e z1 elevado a n é igual a z, então z será real positivo, sempre".
A "fórmula" do produto das raízes refere-se às Relações de Girard, expostos na seguinte equação em azul. Lembre-se que z1, z2, ..., zn são raízes da equação em azul (isso já provei na minha primeira resposta).

O fato de serem vértices de um polígono regular, terem módulos iguais e z1 ser positivo leva-nos que esses números são raízes enésimas, e a fórmula geral para cada um deles está escrita na segunda linha (em preto).

***

Eu apenas supus que z1, z2, ..., zn fosse raízes enésimas de um número "k", que é qualquer real positivo.
Os ângulos são (m-1)pi/n devido à diferença de argumentos que falei anteriormente... essa fórmula condiciona que:

1. z1 esteja na linha dos reais positivos no plano de Argand-Gauss;
   
   
2. z1, z2, ..., zn possuam o mesmo módulo;
   
   
3. z1, z2, ..., zn formem os vértices de um polígono regular.
   

Experimente substituir os valores possíveis de "m" que escrevi do lado da segunda linha da equação. Você obterá as fórmulas exatas de z1, z2, ..., zn em função de n. Repito: experimente fazer com n = 2, n = 3, chute valores para k... brinque bastante com a fórmula para entendê-la.

nossa, boa dica, desculpa mandar uma questao sobre um assunto que nao sabia completamente, ele nao estava no meu livro. mas tambem mesmo se soube-se essa questao parece ser muito complexa e eu nem ia saber responder. entao agradeço aos dois. vou estudar mais sobre o assunto
e inclusive, boa explicaçao, foi bem claro