Questão da Unicamp

Um observador O, na mediatriz de um segmento AB e a uma distância d de AB, vê esse segmento sob um ângulo α. O observador afasta-se do segmento ao longo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê o segmento sob o ângulo α/2. Expresse a distância x = OO’ em termos de α e d.

Resposta:
x = d/[cos(α/2)]

Alguém poderia me ajudar com essa questão?

Desde já, eu agradeço.

Provando algebricamente o que o Euclides mostrou com uma figura (ângulo de vértice interno e ângulo central):

Seja M o ponto médio de AB e k = AM = BM

AÔB = a ----> AÔM = BÔM = a/2 ---> tg(a/2) = k/d

AÔ'B = a/2 ---> AÔ'M = BÔ'M = a/4 ----> tg(a/4) = k/(x + d)
tg(a/2) = 2.tg(a/4)/[1 - tg²(a/4)]

k/d = [2.k/(x + d)]/[1 - k²/(x + d)²] ---> 1/d = [2/(x + d)]/[(x + d)² - k²] ---> (x + d)² - k² = 2.d.(x + d) --->

x² + 2dx + d² - k² = 2dx + 2d² ---> k² = x² - d²

OA² = OM² + AM² ---> OA² = d² + k² ---> OA² = d² + (x² - d²) ---> OA² = x²----> OA = x

cosAÔM = OM/OA ----> cos(a/2) = d/x ----> x = d/cos(a/2)

Obrigado Euclides e Elcioschin