Catenária

A demonstração da catenária é um exercício sofisticado e difícil feita pela primeira vez por Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli em 1691.

É um estudo de nível superior, fora dos nossos propósitos. A curva pode ser expressa em duas formas:

Olá Euclides. Eu andei pesquisando na internet e percebi que a matemática envolvida na catenária é bem complexa e escapa ao meu entendimento. Só que a resolução dessa questão não precisa saber exatamente o que é catenária, eu mesmo antes não sabia, só que por curiosidade o livro de onde retirei a questão informou que essa corrente descreve uma catenária. A forma de resolver essa questão, que não é puramente matemática, apoiando-se na física, baseia-se no fato de que a tensão/tração da corda na horizontal é constante e daí retiramos várias relações e por fim achamos uma constante desconhecida. Usa um pouco de cálculo 1, noções de derivadas e integral, mas nada de outro mundo... Obrigado pela atenção!

https://www.youtube.com/watch?v=yBH5ezzY_-0

Um vídeo interessante sobre as catenárias. E eu achando que várias das formas encontradas por aí (inclusive a dos fios pendurados) eram parábolas...

Bem, vou deixar a minha solução, mas se alguém tiver outro palpite ou caminho de resolver acho interessante postar para acrescentar conhecimento... 

Sem perda de generalidade, suponhamos que a extremidade direita da corta esteja numa altura maior. A Tração horizontal da corda é constante, senão cada ínfimo pedaço (massa desprezível) iria adquirir uma aceleração infinita na horizontal, um absurdo! Prosseguindo com a nossa prova, deixo a imagem para visualização:

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/13/lcxn.png/

Destacamos um pequeno pedação da corda (em verde). Esse pedaço experimenta as trações e seu próprio peso em vermelho. A tração na horizontal é uma constante C. A corda descreve uma função y e sabemos que:



Por outro lado:



Onde dm é a massa do pequeno pedaço de corda cuja densidade linear é p e o comprimento dl. Seguindo com a última expressão:



 

Fazendo y' = z e integrando:



onde C' é uma outra contante. Fazendo  e :

 

Lembrando que z = y' e integrando novamente:



C'' é uma outra constante que não nos importa muito, já que depende de onde fixamos y = 0. Vamos ignorá-la. Além disso, fixamos x = 0 no ponto mais baixo da trajetória. Logo, y' = z = 0 ocorre para x = 0 e isso implica b = 0. Reescrevendo a expressão com as ligeiras transformações:



Pronto, chegamos ao resultado!

Obs: A trigonometria hiperbólica usada aqui ajuda bastante a deixar as expressões mais limpas o possível, senão, por exemplo, teríamos de escrever  no lugar de ...

b) Digamos que a extremidade da esquerda esteja na abcissa x = -d_0. Logo, a outra extremidade está em x = d - d_0. Além disso:




Resgatando uma de nossas expressões anteriores:



Integrando e observando que :





Subtraindo o quadrado das expressões: