(FUVEST) Equações polinomiais

Considere o polinômio não nulo  onde  estão em progressão geométrica de razão  .
a) Calcule  .
b) Mostre, para n par, o polinômio P(x) não tem raiz real.

Veja, se os coeficientes estão em P.G., podemos reescrevê-los da seguinte maneira:

a0, a0q, a0q² ... a0q^n, de forma que podemos reescrever o polinômio da seguinte maneira:

P(x) = a0 * (1 + xq + (xq)² + (xq)³ + ... + (xq)^n )

Letra a:

P(1/q) = a0 * (1 + (1/q *q) + (1/q * q)² + (1/q *q)³ + ... + (1/q * q)^n )
P(1/q) = a0 * (1 + 1 + 1² + 1³ + ... + 1^n)

Veja que: 1 + 1² + 1³ + ... + 1^n é a soma dos termos de uma P.G. de a1 =1, q = 1:

Quando a razão de uma P.G. é 1, a soma de seus termos é dado por: n * a1, nesse caso: S = n

Logo:

P(1/q) = a0 * (1 + n)

Letra b:

Temos dois casos a analisar agora:

Se x # 1/q

P(x) =  a0 * (1 + xq + (xq)² + (xq)³ + ... + (xq)^n )

Fatorando a soma de P.G. dentro dos parênteses:

S = (1 * [ (xq)^{n+1} - 1 ])/(xq -1)

Logo: P(x) = a0 * (1 * [ (xq)^{n+1} - 1 ])/(xq -1)

Agora, se x = 1/q, temos:

P(x) = a0 * (1 + n)

Sabendo que a0 # 0, para termos P(x) = 0, devemos ter:

(xq)^{n+1} - 1 = 0 .:. (xq)^{n+1} = 1

e 

xq # 1 , pois caso contrário teríamos divisão por zero.

Veja então que dois sistemas, o único valor real de xq que satisfaz é -1.

Substituindo:

-1^{n+1} = 1

Veja que para n par, n+1 sempre vai ser ímpar e por isso, -1^{n+1} nunca vai resultar em 1. Com isso, concluímos que para n par, P(x) não tem raiz real.

Att.,
Pedro