Olimpíada da Argentina 2005

por iaguete Qui 26 Dez 2013, 20:33

Se a e b são números reais que satisfazem [(10b+a)/(10a+b)]+(a/2b)=2
Calcular b/a e dar todas as possibilidades.

Gabarito:2 ou 5/16

por **maico33LP** Qui 26 Dez 2013, 21:01

Ótima questão, adorei resolvê-la.

Tira-se o MMC que é (10a +b)(2b)

Aí teremos:

(2b(10b+a) +(10a+b)a)/(10a+b).2b = 2

Desenvolve-se

20b² + 2ba + 10a² + ba = 40ab + 4b²

Por fim terás:

10a² - 37b.a +16b² = 0

Façamos com que nosso a seja o X

Calcula-se o delta:

D = (-37b)² - 4.10.16b²

D = 729b²

a = (37b +- 27b)/20

a' = 64b/20
a'' = 10b/20

Portanto, b/a = 2 ou 5/16

por iaguete Qui 26 Dez 2013, 21:06

maico33LP escreveu:Ótima questão, adorei resolvê-la.

Tira-se o MMC que é (10a +b)(2b)

Aí teremos:

(2b(10b+a) +(10a+b)a)/(10a+b).2b = 2

Desenvolve-se

20b² + 2ba + 10a² + ba = 40ab + 4b²

Por fim terás:

10a² - 37b.a +16b² = 0

Façamos com que nosso a seja o X

Calcula-se o delta:

D = (-37b)² - 4.10.16b²

D = 729b²

a = (37b +- 27b)/20

a' = 64b/20
a'' = 10b/20

Portanto, b/a = 2 ou 5/16

Nossa!! HAHAHA... eu estava fazendo exatamente isso, mas chegava nessa equação do segundo grau e eu fiquei tentando transformar em produto notavel, mas nao dava certo.