Inequação trigonométrica 3

por spawnftw Sáb 07 Set 2013, 02:35

Resolva:

$sen\;2x\;+cos\;2x\;\leq \;-\sqrt{2},\;\;\;\;U\;=\mathbb{R}$

sem gabarito, gostaria de confirmar o que achei aqui

por Dela Corte Sáb 07 Set 2013, 10:06

A minha solução foi longa, trabalhosa e gráfica.

Plotando $Inequação trigonométrica 3 Gif$ , vemos que a imagem da função vai de $Inequação trigonométrica 3 Gif$ . Logo podemos reescrever a função trigonométrica como $Inequação trigonométrica 3 Gif$ .

Substituindo x = 0, temos f(0) = g(0) = 1, portanto $Inequação trigonométrica 3 Gif$
$Inequação trigonométrica 3 Gif$ .

A primeira máxima do gráfico se dá em $Inequação trigonométrica 3 Gif$ , logo $Inequação trigonométrica 3 Gif$ . Substituindo, obtemos

$Inequação trigonométrica 3 Gif$ $Inequação trigonométrica 3 Gif$ .

Supondo k = 0, temos que a = 2 e $Inequação trigonométrica 3 Gif$ , achamos (com algum trabalho) uma forma da função g(x) desejada.

Agora aplicamos na inequação:

$Inequação trigonométrica 3 Gif$

Após resolve-la (repito, fiz somente a análise gráfica das raízes), obtemos um conjunto-verdade $Inequação trigonométrica 3 Gif$ .

Spoiler:

EDIT: conjunto-verdade corrigido.

por Luck Sáb 07 Set 2013, 17:40

Uma forma imediata de chegar nisso é lembrando da ideia do truque do triângulo retângulo (pesquise sobre isso aqui no fórum), mas parabéns Dela Corte pela solução, pois sem esta ferramenta para essa questão nao parece nada trivial.. acho que vc cometeu algum erro no conjunto solução, verifique.

sen2x + cos2x ≤ -√2 , por pitágoras dos coeficientes vc coloca o √2 em evidência:
√2 [ sen2x/√2 + cos2x/√2 ] ≤ -√2
√2 (sen2x.cospi/4 + sen(pi/4)cos2x ) ≤ -√2
√2sen(2x+pi/4) ≤- √2
sen(2x+pi/4) ≤ -1
2x + pi/4 = 3pi/2 + 2kpi , k ∈ Z
2x = 5pi/4 + 2kpi
x = 5pi/8 + kpi

por spawnftw Sáb 07 Set 2013, 22:47

pesquisei e não achei luck, teria a gentileza de passar pra mim??

Obrigado por ambas as respostas

por Luck Dom 08 Set 2013, 13:43

spawnftw escreveu:pesquisei e não achei luck, teria a gentileza de passar pra mim??

Obrigado por ambas as respostas

https://pir2.forumeiros.com/t23519-fuvest-seno-cosseno
https://pir2.forumeiros.com/t27062-equacao-trigonometrica
https://pir2.forumeiros.com/t51093-desafios-fa-25

por Chronoss Dom 08 Set 2013, 16:12

Spawnftw vc está estudando Trigonometria pelo livro do aref correto?

Se estiver dê uma olhada no 2º método para resolver a 1ª equação clássica , através do "ângulo auxiliar" , se não me engano acho que seria esse o " truque do triângulo retângulo " .

por spawnftw Dom 08 Set 2013, 17:33

Chronoss escreveu:Spawnftw vc está estudando Trigonometria pelo livro do aref correto?

Se estiver dê uma olhada no 2º método para resolver a 1ª equação clássica , através do "ângulo auxiliar" , se não me engano acho que seria esse o " truque do triângulo retângulo " .

Olá Chronoss, então estudo por uma mistura do aref e do fme, a teoria é misturada por isso as vezes não tenho gabarito, mas tem essa parte que você falou, vou dar uma olhada, valeu!!

por spawnftw Dom 08 Set 2013, 17:39

Luck escreveu:
spawnftw escreveu:pesquisei e não achei luck, teria a gentileza de passar pra mim??

Obrigado por ambas as respostas
https://pir2.forumeiros.com/t23519-fuvest-seno-cosseno
https://pir2.forumeiros.com/t27062-equacao-trigonometrica
https://pir2.forumeiros.com/t51093-desafios-fa-25

Valeuuu Luck!!!

por spawnftw Dom 08 Set 2013, 18:14

Rapazes, quando tentei fazer essa questão coloquei cos2x e sen2x em função de tangente, e não saiu...

alguém sabe explicar por que??

aguardo.

por Luck Seg 09 Set 2013, 00:52

spawnftw escreveu:Rapazes, quando tentei fazer essa questão coloquei cos2x e sen2x em função de tangente, e não saiu...

alguém sabe explicar por que??

aguardo.

Até sai, mas vc teria que ter decorado o tg(pi/8 ) e lembrar das relações para notar que o valor encontrado corresponde ao 5pi/8.. para resolver desse modo, chama tgx = t , então sen2x = 2t/(1+t²) , cos2x = (1-t²)/(1+t²) e resolve a inequação.