Relação de Euler

Demonstre a relação de Euler:

Oi Gabriel,

Ainda não consegui provar por indução ou expandindo o lado direito da igualdade. Por enquanto, tenho apenas um argumento combinatório.

Suponhamos que temos m mulheres e n homens em uma sala (totalizando m+n pessoas) e queremos calcular de quantas maneiras podemos formar grupos com exatamente p pessoas. Ou seja, queremos calcular (m+n choose p).

E de que forma podemos fazer isso? Vamos, por exemplo, contar o número de maneiras que podemos formar grupos de p pessoas que possuam k das m mulheres e, consequentemente, p-k dos n homens.

Sabemos calcular isso, fazendo 

Se somarmos as maneiras de formarmos os grupos com k mulheres e p-k homens (com m mulheres e n homens), para todo k de 0 até p, estaremos somando o número de maneiras de formarmos os grupos de p pessoas tendo m+n pessoas, correto?

Ou seja, teremos que 

Bom, essa não é uma prova concreta. Estou dando uma noção intuitiva com "homens e mulheres", mas, se bem escrita, essa é uma prova por argumento combinatório.

Se conseguir alguma coisa (acredite, eu já tentei bastante tempo), coloco aqui.

Até

680=680

kakaroto, está pedindo pra provar, e não testar..


http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/algumas-demonstracoes-da-convolucao-de.html

Interessante a por Indução. Pensei em alguma relação utilizando a relação de Stifel mas não cheguei a nada.

Obrigada, ramons

Giovanna, acho que sua demonstração é válida sim. Como você disse, se substituirmos "homens e mulheres" por "elementos" ou algo similar, creio que é perfeitamente aceitável (ótimo raciocínio o seu... se eu conseguisse, ia demorar séculos pra pensar nisso  )

Ramons, esse site é bem legal! Não conhecia... 
Apesar de eu ter boiado na demonstração por derivação , achei muito boa a por indução. Também ia demorar eternidades para chegar nela.

Só um esclarecimento na primeira demonstração: não consegui enxegar como foi obtida aquela expressão para Ck. Algo sobre produto de polinômios, mas fiquei meio perdido nessa parte.
Pode me explicar?
(se você quiser me ajudar nessa dúvida também Giovanna, aceito satisfatoriamente . Álgebra básica pra você deve ser bem simples)

Desde já obrigado 

ramonss, acertei ao provar e não ao demonstrar

kakaroto escreveu:ramonss, acertei ao provar e não ao demonstrar

kakaroto, provar e demonstrar são sinônimos, vc apenas testou mesmo..
acho mais bonita a solução por argumento combinatório .

Luck escreveu:

kakaroto escreveu:ramonss, acertei ao provar e não ao demonstrar

kakaroto, provar e demonstrar são sinônimos, vc apenas testou mesmo..
acho mais bonita a solução por argumento combinatório .

 Acho legal utilizar argumento combinatório, mas nem sempre meus professores aceitam. Em uma prova, tentei utilizar isso para justificar a seguinte questão:

Seja [n]={1,2,3,...,n} e S = { λ : [n] -> [n] | λ  é bijeção}. Mostre que S possui n! elementos (#S = n!).


Infelizmente, recebi um 0 por que o professor queria que mostrasse por indução (não, isso não estava escrito na prova), mesmo eu tendo feito, ao meu ver, da maneira correta.

 De fato, a prova por indução é trivial, mas já eram 23:00h e eu só pensei na combinatória mesmo