Trigonometria EPUSP-1950

O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110m e triplica quando ele se aproxima mais 50m. Qual é a altura da torre?

Sejam h, θ e d a altura da torre o ângulo inicial de visão e a distância final do observador à torre

tgθ = h/(d + 110 + 50) ----> tgθ = h/(d + 160) ----> d + 160 = h/tgθ ----> I

tg(2θ) = h/(d + 50) ----> d + 50 = h/tg(2θ) ----> II

tg(3θ) = h/d ----> ----> d = h/3tg(3θ) ----> III

Temos 3 equações e 3 incógnitas.

I - II ----> 110 = h/tgθ - h/tg(2θ) ----> 110 = h.[tg(2θ) - tgθ]/tgθ.tg(θ) ----> h = 110.tgθ.tg(2θ)/[tg(2θ) - tgθ]

Fazendo tg(2θ) = 2.tgθ/(1 - tg²θ) e simplificando obtém-se h = 110.sen(2θ) ----> IV

Desenvolva tg(3θ) = tg(2θ + θ) = [tgθ + tg(2θ)]/[1 - tgθ.tg(2θ)] , use em III
Faça II - III e obtenha nova função h = f(θ) ----> V

Iguale e obtenha θ . entre em IV e obtenha h

É bem trabalhoso