EPUSP 1963 - Trigonometria

por futuromilitar2 Qui 29 Jun 2017, 00:06

Provar que se $\frac{\pi}{4}<a<\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{4}<b<\frac{\pi}{2}$ , então $\sin(a+b)<\frac{4}{5}\cdot\sin b+ \sin a$ .

por **Victor011** Sex 30 Jun 2017, 09:18

Lembre primeiramente do triângulo retângulo de lados 3,4 e 5. O ângulo que possui cosseno igual a 4/5 é aproximadamente 37^o. Note que 37^o está fora do intervalo de a e b. Podemos tirar as seguintes relações:

\\37^o < a\;\to\;cos37^o=\frac{4}{5} > cosa\;\to\;senb.\frac{4}{5} > senb.cosa\;\;\;(1)\\\\\\37^o < b\;\to\;cos37^o=\frac{4}{5} > cosb\;\to\;sena.\frac{4}{5} > sena.cosb\;\;\;(2)

Somando (1) e (2), teremos que:

\\sena.\frac{4}{5}+senb.\frac{4}{5} > sena.cosb+senb.cosa\\\\\therefore \frac{4}{5}.\left (sena+senb\right ) > sen(a+b)

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