(EUA) polinômios

Considerem-se os polinômios e . Sendo , , e as raízes de , determine o valor de .

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Olá, mauk03.

Vamos dividir P(x) por Q(x):
 
 x^6 - x^5 - x³- x²- x              |x^4 - x³ - x²- 1
-x^6 + x^5 +x^4 + x^2            x² + 1
                   x^4 - x³ - x
                  -x^4 + x³ + x² + 1
                                 x² - x + 1

Então: P(x) = q(x) * (x²+1) + (x²-x+1)

Substituindo x por cada uma das raízes, teremos:

P(z1) = (z1)² - z1 + 1
P(z2) = (z2)² - z2 + 1
P(z3) = (z3)² - z3 + 1
P(z4) = (z4)²- z4 + 1

Seja S a soma pedida:

S = z1² + z2² + z3² + z4² - (z1+z2+z3+z4) + 4

Note que:
z1²+z2²+z3²+z4² = (z1+z2+z3+z4)²- 2*(z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4)

Então:

S = (z1+z2+z3+z4)²- 2*(z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4) - (z1+z2+z3+z4) + 4

Das relações de Girard:

z1+z2+z3+z4 = -(-1)/1 = 1
z1z2 + z1z3 + z1z4 + z2z3 + z2z4 + z3z4 = -1/1 = -1

Logo:

S = 1² - 2*(-1)  - 1 + 4 .:. S = 6

Att.,
Pedro

Vlw Pedro