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UFU polinômios

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Mensagem por reinserkmo Qua 08 Jan 2014, 17:43

Considere a equação p(z+1).q(z+1) = 0, em que os polinômios p(z) e q(z) são definidos por p(z)= z^4+3z²+2 e q(z)=z³-1
Pode-se afirmar que a quantidade de raízes complexas, não reais, dessa equação é igual a:

A)7
B)6
C)4
D)3

Gabarito:B

eu Substitui o z nos polinômios por z+1, depois igualei cada polinômio a zero, de q(z+1)=o tirei que z=0 multiplicidade 3 pois o polinômio é do 3 grau.De p(z+1)=0 substitui (z+1)²=t, obtendo uma equação do segundo grau.Após resolve-la e obter os valores de t comparei de volta com (z+1)²=t obtendo assim dois números complexos que são raízes de p(z+1) e por consequência seus conjugados também são. Portanto como obtive 4 raízes complexas eu fiquei com a letra C, então o que eu errei? comecei pensando certo?. Obrigado

reinserkmo
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Mensagem por PedroCunha Qua 08 Jan 2014, 18:05

Veja:

p(z+1) = (z+1)^4 + 3*(z+1)² + 2

Fazendo:

(z+1)² = a

a² + 3a + 2 = 0
a' = (-3 + 1)/2 = -1
a'' = (-3-1)/2 = -2

Voltando:

(z+1)² = -1
z² + 2z + 1 = -1
z² + 2z +2 = 0
z' = (-2 + 2i)/2 = -1 + i
z'' = (-2 -2i)/2 = -1 - i

ou

(z+1)² = -2
z² + 2z + 1 = -2
z² + 2z + 3 = 0
z' = (-2 + 2√2i)/2 = -1 + √2i
z'' = (-2-2√2i)/2 = -1 - √2i


Agora:


q(z+1) = (z+1)³ - 1


Fazendo: (z+1)³ = b


b - 1 = 0
b = 1


(z+1)³ = 1
(z+1) * (z² + 2z + 1) =1
z³ + 2z² + z + z² + 2z + 1 = 1
z³ + 3z² + 3z = 0
z * (z² + 3z + 3) = 0
z = 0


ou


z² + 3z + 3 = 0
z' = (-3 + √3i)/2
z'' = (-3 - √3i)/2


Logo, a quantidade de raízes complexas é 6. Alternativa B .


Att.,
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Mensagem por reinserkmo Qua 08 Jan 2014, 18:39

Certo, só tenho uma dúvida, quando obtive (z+1)³=1, eu extrai a raiz cúbica dos dois lados, por isso não obtive as outras 2 raízes complexas.Nem pensei em fatorar. Para evitar tais situações eu devo fatorar as expressões sempre, ou há situações que é ok extrair a raiz dos dois lados?. Obrigado

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Mensagem por Elcioschin Qua 08 Jan 2014, 23:11

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Mensagem por PedroCunha Qui 09 Jan 2014, 00:12

Sempre que envolver raízes quadradas, cúbicas, etc., e a possibilidade de números complexos, deve-se fatorar.

Att.,
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