Produtos notáveis

por 2k3d Qua 17 Abr 2013, 12:05

Sejam a , b, c inteiros positivos tais que $\frac{a\sqrt{2} + b}{b\sqrt{2} + c}$ seja um número racional então , o número $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}$ é igual a :

a) a - b + c
b) a + b + c
c) a + b - c
d) a - b - c
e) -a + b - c

OBS : Não sei a resposta.

por Chronoss Qui 18 Abr 2013, 15:49

Racionalizando a primeira expressão : $\frac{a\sqrt{2}\: \: +\: b}{b\sqrt{2}\: \: +\: c}\: \cdot \: \frac{b\sqrt{2}\: \: -\: c}{b\sqrt{2}\: \: -\: c}\: =\: \frac{2ab\: \: -ac\sqrt{2}\:\: +\: b^{2}\sqrt{2}\: \:-bc }{2b^{2}\: \: -\: \: c^{2}}$ ,

para que ela seja racional - ac deve ser igual à - b² ;logo na segunda expressão :

$\frac{a^{2}\: \: +\: \: b^{2}\: \:+\: \: c^{2}}{a\: \: +\: \: b\: \: +\: \: c}\, =\, \frac{a^{2}\: \: +\: \: ac\: \:+\: \: c^{2}} {a\: \: +\: \: b\: \: +\: \: c}\, =\, \frac{(a\: \, +\, \: c)^{2}\: \: - \: (b)^{2}}{a\: \: +\: \: b\: \: +\: \: c}\, =\, \frac{(a\: \: +\: \: b\: \: +\: \: c)\, \cdot \, (a\: \: -\: \: b\: \: +\: \: c)}{a\: \: +\: \: b\: \: +\: \: c} \,$

Logo a resposta é (a - b + c) letra a).Acho que é isso.

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