Propriedade do seno

Considerando-se o círculo trigonométrico, prove que sen⁡θ≤|θ|, qualquer que seja θ.

Veja esse esquema.

Fica claro se eu disser que a área do triângulo (At) OAB é menor que a área do setor ciruclar OAC, ja que aquela está contida nesta.

Assim:

0 < At <= As

Como medimos as áreas no ciclo trigonométrico? Sabemos que o usual eixo x é o eixo dos cossenos e o y, dos senos.

Escolhendo OC como base do triângulo, sua altura será senθ e sua base, cos0º = 1. Assim: At = senθ/2

Agora para o setor, temos que para um ângulo de θrad, fazendo uma regra de 3 básica e sabendo que o raio do ciclo é, por definição, 1:

pi.R^2 (Area do circulo) ---- 2pi rad(360 graus)
As (areado setor de θ rad) - θ rad

As = θ/2

Assim:

0<(senθ)/2<=|θ|/2 (por que tetha pode ser negativo)

Multiplicando por 2:

0 < senθ =< |θ|

c.q.d

Ainda digo mais: tudo isso é menor ou igual a tgθ. Tente provar você

sen⁡θ≤|θ|
para senθ máximo :
senθ = 1
θ = pi/2 + 2kpi, k ∈ Z
1 ≤ | pi/2 + 2kpi |
se k = 0, 1 ≤ |pi/2| ok, entao para qualquer k > 0 isso é verdade.
se k = -1, 1 ≤ | pi/2 -2pi | --> 1 ≤ 3pi/2 ok, entao para qualquer k < 0 isso é verdade.
Logo sen⁡θ≤|θ| , qualquer que seja ⁡θ, c.q.d
acho que é outra solução válida..

Obrigado, pessoal!