Círculos Tangentes Internamente

Considerem o seguinte enunciado:
Três circunferências, α, β e γ, de raios, respectivamente, a, b e c tangenciam-se externamente de modo que α tangencia β, β tangencia γ e γ tangencia α. Considere a região limitada por essas circunferências e seja φ a figura geométrica que circunscreve tal região. Denominando ω a circunferência de raio r inscrita em φ, determine r em função de a, b e c.

A fim de facilitar o entendimento dessa resolução, peço que se esboce os entes geométricos grafados em vermelho à medida que eles forem sendo citados. Isso resultará na construção de uma figura fundamental para a solução do problema.

Resolução.
Sejam:
α, β, γ e ω – as circunferências, conforme o enunciado;
A, B e C - os centros de α, β e γ, respectivamente.
Obs: neste momento, tracemos, também, o triângulo ΔABC;
D - o centro de ω.
Obs: tracemos, também, os segmentos AD, BD e CD;
E, F e G - as intersecções de ω com α, β e γ, respectivamente;
s – uma reta traçada por E perpendicularmente ao segmento AD;
t – uma reta traçada por F perpendicularmente ao segmento BD;
j – uma reta traçada por G perpendicularmente ao segmento CD.
H, I e L – respectivamente, s∩t, s∩j e t∩j.
Obs: neste momento, tracemos, também, os segmentos AH, BH, BL, CL, CI e AI.
Então, HE=HF, LF=LG e IG=IE, pois são segmentos das tangentes s, t e j à ω.

Agora, seja M o pé da perpendicular baixada por H ao lado AB do triângulo ΔABC.
Vamos determinar a posição de M em AB.
Dos triângulos retângulos ΔAHE e ΔAHM, vem:
(AH)² = (AE)² + (HE)² e (AH)² = (AM)² + (HM)². Donde: (AE)² + (HE)² = (AM)² + (HM)² => a² + (HE)² = (AM)² + (HM)² [1]
Dos triângulos retângulos ΔBHF e ΔBHM, vem:
(BH)² = (BF)² + (HF)² e (BH)² = (BM)² + (HM)². Donde: (BF)² + (HF)² = (BM)² + (HM)² => b² + (HF)² = (BM)² + (HM)² [2]
Subtraindo [1]-[2], membro a membro, obtemos:
(a²-b²) + [(HE)²-(HF)²] = [(AM)²-(BM)²] + [(HM)²-(HM)²]
(a²-b²) = (AM)²-(BM)²
(a+b).(a-b) = (AM+BM).(AM-BM).
Mas, AM+BM=a+b. Logo: (a+b).(a-b) = (a+b).(AM-BM) =>AM-BM=a-b. Portanto, AM+BM=a+b e AM-BM=a-b. Donde obtemos AM=a e BM=b. Logo, M= α∩β.
Então HM=HE=HF, pois são segmentos de mesma origem tangentes às circunferências α, β, γ e ω , sendo, portanto, raios da circunferência (λ1), de centro H, inscrita no triângulo ΔABD.
Obs: marquemos, agora, o ponto M e tracemos o segmento HM e a circunferência λ1.

De modo análogo, sendo, respectivamente, N e P os pés das perpendiculares baixadas por L ao lado BC e por I ao lado AC do triângulo ΔABC, obtemos que N= β∩γ e P= α∩γ, de modo que L é o centro da circunferência (λ2), de raio LN=LF=LG, inscrita no triângulo ΔBCD e I o centro da circunferência (λ3), de raio IP=IG=IE, inscrita no triângulo ΔACD.
Obs: marquemos, então, os pontos N e P e tracemos os segmentos LN e IP e as circunferências λ2 e λ3.

Segue do exposto acima que as retas AH, BH, BL, CL, CI e AI são bissetrizes dos ângulos MAE, MBF, NBF, NCG, PCG e PAE, respectivamente. Disso resulta: HAI=A/2, HBL=B/2 e LCI=C/2 [3]
HAI = EAH+EAI = MAE/2 + PAE/2 = (MAE+PAE)/2 = MAP/2 = A/2 => HAI = A/2
HBL = FBH+FBL = MBF/2 + NBF/2 = (MBF+NBF)/2 = MBN/2 = B/2 => HBL = B/2
LCI = GCL+GCI = NCG/2 + PCG/2 = (NCG+PCG)/2 = NCP/2 = C/2 => LCI = C/2

Agora, seja Q a intersecção dos prolongamentos de LN e IP, e S o pé da perpendicular baixada por Q ao lado AB do triângulo ΔABC.
Obs: tracemos, agora, os segmentos AQ, BQ e CQ.
Vamos determinar a posição de S em AB.
QP=QN, pois são segmentos de mesma origem tangentes à γ.
Dos triângulos retângulos ΔAQP e ΔAQS, vem:
(AQ)² = (AP)² + (QP)² e (AQ)² = (AS)² + (QS)². Donde: (AP)² + (QP)² = (AS)² + (QS)²
=>a² + (QP)² = (AS)² + (QS)² [4]
Nos triângulos retângulos ΔBQN e ΔBQS, temos:
(BQ)² = (BN)² + (QN)² e (BQ)² = (BS)² + (QS)². Donde: (BN)² + (QN)² = (BS)² + (QS)²
=> b² + (QN)² = (BS)² + (QS)² [5]
Subtraindo [4]-[5], membro a membro, vem:
(a²-b²) + [(QP)²-(QN)²] = [(AS)²-(BS)²] + [(QS)²-(QS)²]
(a²-b²) = (AS)²-(BS)²
(a+b).(a-b) = (AS+BS).(AS-BS).
Mas, AS+BS=a+b. Logo: (a+b).(a-b) = (a+b).(AS-BS) =>AS-BS=a-b. Portanto, AS+BS=a+b e AS-BS=a-b. Donde obtemos AS=a e BS=b.
Então, S coincide com M. Logo, os segmentos QM e HM são colineares. Então, QM=QP=QN, pois são segmentos de mesma origem tangentes às circunferências α, β e γ, sendo, portanto, raios da circunferência (μ), de centro Q, inscrita no triângulo ΔABC.
Obs: tracemos, então, o segmento QM e a circunferência μ.

Segue do exposto acima, que as retas AQ, BQ e CQ são bissetrizes dos ângulos MAP, MBN e NCP, respectivamente. Disso resulta: MAQ=A/2, MBQ=B/2 e NCQ=C/2.
Denominando R o raio da circunferência μ, temos que QM=QP=QN=R.
Do triângulo retângulo ΔMAQ, vem: tg(MAQ)=QM/AM => tg(A/2)=R/a.
Do triângulo retângulo ΔMBQ, vem: tg(MBQ)=QM/BM => tg(B/2)=R/b.
Do triângulo retângulo ΔNCQ, vem: tg(NCQ)=QN/CN => tg(C/2)=R/c.
Lembrando em [3] que HAI=A/2, HBL=B/2 e LCI=C/2, obtemos: tg(HAI)=R/a, tg(HBL)=R/b e tg(LCI)=R/c.

Vamos, agora, ao cálculo do raio (R) de μ.
R = (área do triângulo ΔABC)/(semi-perímetro do triângulo ΔABC)
2p=(a+b)+(a+c)+(b+c)
p=a+b+c [6]
área do ΔABC = {p[p-(a+b)][p-(a+c)][p-(b+c)]}^(1/2) (fórmula de Herão)
área do ΔABC = √(abcp)
Logo, R = [√(abcp)]/p = √(a.b.c/p)
Ou: p.R² = a.b.c [7]
Obs: notem que o valor de R não se altera se escolhermos livremente a, b e c dentre três valores dados.

Agora, fazendo HM=HE=HF=x, LN=LF=LG=y e IP=IG=IE=z, temos:
No triângulo ΔHAI:
HAI=EAI+EAH
tg(HAI) = [tg(EAI) + tg(EAH)]/[1-tg(EAI).tg(EAH)]
tg(HAI) = (IE/AE + HE/AE)/[1–(IE/AE)(HE/AE)]
R/a = (z/a + x/a)/[1-(z/a)(x/a)] => z = a²(R-x)/(a² + Rx) [8]
No triângulo ΔHBL:
HBL=FBH+FBL
tg(HBL) = [tg(FBH) + tg(FBL)]/[1-tg(FBH).tg(FBL)]
tg(HBL) = (HF/BF + LF/BF)/[1-(HF/BF)(LF/BF)]
R/b = (x/b + y/b)/[1-(x/b)(y/b)] => y = b²(R-x)/(b² + Rx) [9]
No triângulo ΔLCI:
LCI=GCL+GCI
tg(LCI) = [tg(GCL) + tg(GCI)]/[1-tg(GCL).tg(GCI)]
tg(LCI) = (LG/CG + IG/CG)/[1-(LG/CG)(IG/CG)]
R/c = (y/c + z/c)/[1-(y/c)(z/c)] => Ryz + c²y + c²z - c²R = 0 [10]

Substituindo [8] e [9] em [10] e desenvolvendo, obtemos a seguinte equação do 2º grau em x:
R[a²b²-c²(a²+b²+R²)]x²-2a²b²(c²+R²)x+a²b²R(c²+R²) = 0 [11]
Donde:
I) c²R[a²b²-c²(a²+b²+R²)]x²-2a²b²c²(c²+R²)x+a²b²c²R(c²+R²) = 0
R[a²b²c²-(c^4)(a²+b²+R²)]x²-2a²b²c²(c²+R²)x+a²b²c²R(c²+R²) = 0
Lembrando em [6] e [7] que a+b+c=p e que abc=pR² e substituindo, vem:
R[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]x²-2p²(R^4)(c²+R²)x+p²(R^5)(c²+R²) = 0
[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]x²-2p²(R^3)(c²+R²)x+p²(R^4)(c²+R²) = 0 [12]
Ou:
II) cR[a²b²-c²(a²+b²+R²)]x²-2a²b²c(c²+R²)x+a²b²cR(c²+R²) = 0 [13]
Δ = 4(a^4)(b^4)c²(c²+R²)²-4a²b²c²R²(c²+R²)[a²b²-c²(a²+b²+R²)]
Δ = 4a²b²c²(c²+R²){a²b²(c²+R²)-R²[a²b²-c²(a²+b²+R²)]}
Δ = 4a²b²c²(c²+R²){a²b²c²+a²b²R²-a²b²R²+c²R²[(a+b)²-2ab+R²]}
Δ = 4a²b²c²(c²+R²)[a²b²c²+c²R²(a+b)²-2abc²R²+c²(R^4)]
Lembrando novamente em [6] e [7] que a+b+c=p e que abc=pR² e substituindo, vem:
Δ = 4p²(R^4)(c²+R²)[p²(R^4)+c²R²(p-c)²-2cp(R^4)+c²(R^4)]
Δ = 4p²(R^4)(c²+R²)[(p²-2cp+c²)(R^4)+c²R²(p-c)²]
Δ = 4p²(R^4)(c²+R²)[(p-c)²(R^4)+c²R²(p-c)²]
Δ = 4p²(R^4)(c²+R²)[(p-c)²R²(R²+c²)]
Δ = 4p²(R^6)(c²+R²)²(p-c)²
Δ = [2pR³(c²+R²)(p-c)]²
x = [2a²b²c(c²+R²) ± 2pR³(c²+R²)(p-c)]/2cR[a²b²-c²( a²+b²+R²)]
x = [2a²b²c²(c²+R²) ± 2cpR³(c²+R²)(p-c)]/2R[a²b²c²-(c^4)( a²+b²+R²)]
x = [2p²(R^4)(c²+R²) ± 2cpR³(c²+R²)(p-c)]/2R[p²(R^4)-(c^4)( a²+b²+R²)]
x = 2pR³(c²+R²)[pR ± c(p-c)]/2R[p²(R^4)-(c^4)( a²+b²+R²)]
x = pR²(c²+R²)[pR ± c(p-c)]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]
x1 = pR²(c²+R²)[pR+c(p-c)]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)] [14]
x2 = pR²(c²+R²)[pR-c(p-c)]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)] [15]

Conseguiremos uma interessante simplificação dessas raízes procedendo como se segue:

As equações [11], [12] e [13] são equivalentes, tendo, portanto, as mesmas raízes x1 e x2 cujo produto é
x1.x2 = p²(R^4)(c²+R²)²[p²R²-c²(p-c)²]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]² [16]

De [12] vem:
x1.x2 = p²(R^4)(c²+R²)/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)] [17]
Da comparação entre [16] e [17], resulta:
p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²) = (c²+R²)[p²R²-c²(p-c)²]
p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²) = (c²+R²)[pR+c(p-c)][pR-c(p-c)] [18]

Substituindo [18] em [14] e [15] obtemos expressões mais simples para x1 e x2.

x1 = pR²(c²+R²)[pR+c(p-c)]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]
x1 = pR²(c²+R²)[pR+c(p-c)]/(c²+R²)[pR+c(p-c)][pR-c(p-c)]
x1 = pR²/[pR-c(p-c)]
x1 = abc/[pR-c(p-c)]

x2 = pR²(c²+R²)[pR-c(p-c)]/[p²(R^4)-(c^4)(a²+b²+R²)]
x2 = pR²(c²+R²)[pR-c(p-c)]/(c²+R²)[pR+c(p-c)][pR-c(p-c)]
x2 = pR²/[pR+c(p-c)]
x2 = abc/[pR+c(p-c)]

Obs: obtivemos estas simplificações comparando o produto das raízes. Se comparássemos a soma das raízes, obteríamos apenas uma identidade.

Como x, y e z são segmentos dos lados do triângulo ΔHIL devem ser positivos.
Por [8] e [9], temos:
z>0 => R-x>0 => xy>0 => R-x>0 => xPortanto x deve satisfazer à condição 0
Considerando a raiz x1, temos:
x1>0 => pR²/[pR-c(p-c)]>0 => pR-c(p-c) > 0
x1 x1-R<0 => {pR²/[pR-c(p-c)]}-R < 0 => c(p-c)/[pR-c(p-c)] < 0 => pR-c(p-c) < 0
Como pR-c(p-c) não pode ser simultaneamente positivo e negativo, concluímos que x1 não satisfaz à condição 0
Considerando agora a raiz x2, temos:
x2>0 => pR²/[pR+c(p-c)] >0. Esta condição será sempre satisfeita, pois p-c > 0.
x2 R-x2>0 => R-{pR²/[pR+c(p-c)]}> 0 => c(p-c)/[pR+c(p-c)] > 0. Esta condição também será sempre satisfeita. Logo, x2 satisfaz à condição 0Portanto x = abc/[pR+c(p-c)] [19]

Do mesmo modo, considerando novamente o sistema formado pelas equações [8], [9] e [10], resolvendo-o em relação à y e z e procedendo de modo análogo ao realizado com relação à incógnita x, obtemos:
y = abc/[pR+a(p-a)] [20]
z = abc/[pR+b(p-b)] [21]
Obs: definido o valor de x poderíamos por substituição em [8] e [9] obter os valores de z e y. Porém, por tal procedimento resultariam expressões menos simples para y e z.

Como ω é a circunferência inscrita no triângulo ΔHIL cujos lados medem x+y, x+z e y+z, o seu raio r será calculado de modo análogo ao efetuado para R.
r = (área do triângulo ΔHIL)/(semi-perímetro do triângulo ΔHIL)
2p’=(x+y)+(x+z)+(y+z)
p’=x+y+x
área do ΔHIL = {p’[p’-(x+y)][p’-(x+z)][p’-(y+z)]}^(1/2) (fórmula de Herão)
área do ΔHIL = √(xyzp’)
Logo, r = √(xyz/p’)
Ou: r² = xyz/(x+y+z) [22]
Em resumo: dados os raios das três circunferências, escolhemos a, b e c livremente dentre os três valores dados. Em seguida calculamos p, R, x, y, z e, finalmente, r através das seguintes fórmulas:
p = a+b+c
R² = a.b.c/p
x = abc/[pR+c(p-c)]
y = abc/[pR+a(p-a)]
z = abc/[pR+b(p-b)]
r² = xyz/(x+y+z)

Consideraremos agora um exemplo numérico:
Sejam 6 cm, 7 cm e 8 cm os raios das circunferências. Tomando a=6, b=7 e c=8, temos:
P = 6+7+8 = 21
R² = 6.7.8/21 => R=4
x = 6.7.8/[21.4+8(21-] => x = 84/47
y = 6.7.8/[21.4+6(21-6)] => y = 56/29
z = 6.7.8/[21.4+7(21-7)] => z = 24/13
r² = (84/47)(56/29)(24/13)/[(84/47)+(56/29)+(24/13)] => r = 168/157 cm.

Do mesmo modo, substituindo [19], [20] e [21] em [22], vem:
r² = (p²R^4) /{[pR+a(p-a)][pR+b(p-b)]+[pR+b(p-b)][pR+c(p-c)]+[pR+a(p-a)][pR+c(p-c)]}
r²=(p²R^4)/{p²R²+[a(p-a)+b(p-b)]pR+a(p-a)b(p-b)+p²R²+[b(p-b)+c(p-c)]pR+b(p-b)c(p-c)+p²R²+[a(p-a)+c(p-c)]pR+a(p-a)c(p-c)}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[a(p-a)+b(p-b)+b(p-b)+c(p-c)+a(p-a)+c(p-c)]pR+a(p-a)b(p-b)+b(p-b)c(p-c)+a(p-a)c(p-c)}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[2a(p-a)+2b(p-b)+2c(p-c)]pR+ab(p-a)(p-b)+bc(p-b)(p-c)+ac(p-a)(p-c)}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[2a(p-a)+2b(p-b)+2c(p-c)]pR+ab[p²-(a+b)p+ab]+bc[p²-(b+c)p+bc]+ac[p²-(a+c)p+ac]}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[2ap-2a²+2bp-2b²+2cp-2c²]pR+ab[p²-(p-c)p+ab]+bc[p²-(p-a)p+bc]+ac[p²-(p-b)p+ac]}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[2(a+b+c)p-2(a²+b²+c²)]pR+ab[p²-p²+cp+ab]+bc[p²-p²+ap+bc]+ac[p²-p²+bp+ac]}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+[2(a+b+c)(a+b+c)-2(a²+b²+c²)]pR+ab(cp+ab)+bc(ap+bc)+ac(bp+ac)}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+2[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]pR+abcp+(ab)²+abcp+(bc)²+abcp+(ac)²}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3abcp+(ab)²+(bc)²+(ac)²}
r² = (p²R^4) /{3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3abcp+[(ab)²+(bc)²+(ac)²+2.ab.bc+2.ab.ac+2.bc.ac]- 2.ab.bc-2.ab.ac-2.bc.ac}
r² = (p²R^4) /[3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3abcp+(ab+bc+ac)²-2abc(a+b+c)]
r² = (p²R^4) /[3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3(abc)p+(ab+bc+ac)²-2(abc)p]
r² = (p²R^4) /[3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3(pR²)p+(ab+bc+ac)²-2(pR²)p]
r² = (p²R^4) /[3p²R²+4(ab+bc+ac)pR+3p²R²+(ab+bc+ac)²-2p²R²]
r² = (p²R^4) /[4p²R²+4(ab+bc+ac)pR+(ab+bc+ac)²]
r² = (p²R^4) /[2pR+(ab+ac+bc)]²
r = pR² /(2pR+ab+ac+bc)
r = abc /(2pR+ab+ac+bc)

Logo, dados os raios das três circunferências, escolhemos a, b e c livremente dentre os três valores dados. Em seguida calculamos r através das seguintes fórmulas:
p = a+b+c
R² = a.b.c/p
r = abc /(2pR+ab+ac+bc)

Retornemos ao exemplo numérico:
Sejam 6 cm, 7 cm e 8 cm os raios das circunferências. Tomando a=6, b=7 e c=8, temos:
P = 6+7+8 = 21
R² = 6.7.8/21 => R=4
r = 6.7.8 /(2.21.4+6.7+6.8+7. => r = 168/157 cm.

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Autor Mensagem
Daniel Bastos

Registrado em: Sábado, 4 de Junho de 2005
Mensagens: 97
Localização: Miguel Pereira - RJ.
Enviada: Ter Mar 06, 2007 5:04 am Assunto: Circunferências tangentes inscritas.

Oi pessoal,

Este é outro bom exercício para os neurônios:

Considerem a seguinte figura: três circunferências de raios 6 cm, 7 cm e 8 cm tangenciando-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Tal figura está inscrita numa circunferência de raio R (ou seja: esta circunferência envolve as outras três tangenciando-as). Qual a medida de R?
A) 164/11 cm.
B) 165/11 cm.
C) 167/11 cm.
D) 168/11 cm

Eu idealizei esta questão a partir da resolução que fiz do problema “Tangência de circunferências” postado no fórum.
Notem que as circunferências λ1, λ2, λ3 e μ constantes daquela resolução reproduzem a situação descrita neste enunciado. Assim sendo, o problema literal que se nos apresenta agora é:
Dados os raios x, y e z das circunferências λ1, λ2 e λ3 tangentes externamente duas a duas, calcular o raio (R) de μ, a circunferência que as circunscreve.
Resolução.
Vêm daquela resolução as seguintes relações:
p = a+b+c
pR² = a.b.c
x = pR²/[pR+c(p-c)]
y = pR²/[pR+a(p-a)]
z = pR²/[pR+b(p-b)]
r² = xyz/(x+y+z)
Donde:
1/x + 1/y + 1/z = 3/R + 2(1/a + 1/b + 1/c) [1]
1/x - 1/y = 1/a - 1/c [2]
1/z - 1/y = 1/a - 1/b [3]
1/x - 1/z = 1/b - 1/c [4]
Por [2]+[3], [3]-[4] e [2]+[4], obtemos:
1/a + 1/b + 1/c = 3/a - 1/x + 2/y - 1/z
1/a + 1/b + 1/c = 3/b - 1/x - 1/y + 2/z
1/a + 1/b + 1/c = 3/c + 2/x - 1/y - 1/z
Substituindo o valor de 1/a + 1/b + 1/c nestas três últimas equações em [1], vem:
1/x + 1/y + 1/z = 3/R + 2(3/a - 1/x + 2/y - 1/z) => 2/a = 1/x - 1/y + 1/z - 1/R [5]
1/x + 1/y + 1/z = 3/R + 2(3/b - 1/x - 1/y + 2/z) => 2/b = 1/x + 1/y - 1/z - 1/R [6]
1/x + 1/y + 1/z = 3/R + 2(3/c + 2/x - 1/y - 1/z) => 2/c = -1/x + 1/y + 1/z - 1/R [7]
Ora, R² = abc/(a+b+c) => 4/R² = (2/a)(2/b) + (2/a)(2/c) + (2/b)(2/c) [8]
Substituindo [5], [6] e [7] em [8] e desenvolvendo, obtemos a seguinte equação do 2º grau em 1/R:
(1/R)² + 2(1/x + 1/y + 1/z)(1/R) + [(1/x + 1/y + 1/z)² - 4(1/xy + 1/xz + 1/yz)] = 0
Δ = 4(1/x + 1/y + 1/z)² - 4[(1/x + 1/y + 1/z)² - 4(1/xy + 1/xz + 1/yz)]
Δ = 16[(x+y+z)/xyz]
Δ = 16/r²
1/R = [-2(1/x + 1/y + 1/z) - 4/r]/2. Esta raiz será descartada por ser negativa.
Ou:
1/R = [-2(1/x + 1/y + 1/z) + 4/r]/2
1/R = 2/r - (1/x + 1/y + 1/z)
Obs: notem que o valor de r e de 1/x + 1/y + 1/z não se altera se escolhermos livremente x, y e z dentre três valores dados.
Como 1/R é positivo, devemos ter: 2/r - (1/x + 1/y + 1/z) > 0. Esta relação expressa a condição de existência de μ.
Em resumo: dados os raios das três circunferências, escolhemos x, y e z livremente dentre os três valores dados. Em seguida calculamos R através das seguintes fórmulas:
r² = xyz/(x+y+z)
1/R = 2/r - (1/x + 1/y + 1/z)

Exemplo:
Sejam 6 cm, 7 cm e 8 cm os raios das circunferências. Tomando x=6, y=7 e z=8, temos:
r² = 6.7.8/(6+7+ => r = 4
1/R = 2/4 - (1/6 + 1/7 + 1/ => R = 168/11 cm.

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Daniel Bastos



Registrado em: Sábado, 4 de Junho de 2005
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Localização: Miguel Pereira - RJ.
Enviada: Sáb Mar 10, 2007 6:44 am Assunto:

Olá pessoal,

É útil padronizar as soluções dos problemas “Tangência de circunferências” e “Circunferências tangentes inscritas”. Obteremos a padronização aplicando as soluções ao seguinte enunciado:
Três circunferências de raios a, b e c tangenciam-se externamente duas a duas. Determine o raio da circunferência que as tangencia.
Há duas soluções para este enunciado:
1º) O menor raio (o da menor circunferência) corresponde à solução de “Tangência de circunferências”, sendo dado por:
r = abc/[2pR+(ab+ac+bc)] onde p = a+b+c e R² = a.b.c/p
2º) O maior raio (o da maior circunferência) corresponde à solução de “Circunferências tangentes inscritas” e será aqui obtido como se segue:
Vimos que 1/R = 2/r - (1/x + 1/y + 1/z) onde r² = xyz/(x+y+z) e x, y e z são os raios das três circunferências dadas. Tomando x=a, y=b e z=c, vem:
x +y+z = a+b+c. Portanto x+y+z = p (vide o1º item acima). Logo r² = xyz/(x+y+z) = abc/p => pr² = abc. Mas 1/R = 2/r - (1/x + 1/y + 1/z). Então:
1/R = 2/r - (1/a + 1/b + 1/c)
pr²/R = 2pr²/r - pr²(1/a + 1/b + 1/c)
pr²/R = 2pr - ( pr²/a + pr²/b + pr²/c)
abc/R = 2pr - ( abc/a + abc/b + abc/c)
abc/R = 2pr - (ab+ac+bc)
abc = R[2pr - (ab+ac+bc)]
R = abc/[2pr-(ab+ac+bc)]
Logo R = abc/[2pr-(ab+ac+bc)] onde p = a+b+c e r² = abc/p.
Vejam que as fórmulas resolutivas ficaram parecidas. A condição de existência 2/r - (1/x + 1/y + 1/z) > 0 toma a forma 2pr > (ab+ac+bc).

Voltemos ao exemplo numérico.
Sejam 6 cm, 7 cm e 8 cm os raios das circunferências. Tomando a=6, b=7 e c=8, temos:
p = 6+7+8 = 21
r² = 6.7.8/21 => r=4
R = 6.7.8 /[2.21.4-(6.7+6.8+7.] => R = 168/11 cm.Daniel Bastos

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Registrado: Quarta Dez 30, 2009 12:26 am

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