cálculos com a+b+c

por **adriano tavares** Ter 16 Nov 2010, 18:00

Olá, andrerj.

$a+b+c=3$ (I)

$a^2+b^2+c^2=5$ (II)

$a^3+b^3+c^3=7$ (III)

$a^4+b^4+c^4=9$ (IV)

Elevando (I) ao quadrado e substituindo o valor da (II) teremos:

$a+b+c=3\Rightarrow (a+b+c)^2=9\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=9$

$5+2(ab+ac+bc)=9 \Rightarrow (ab+ac+bc=2)$ (V)

A forma fatorada de $a^3+b^3+c^3$ é dada por:

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+ac+bc)(a+b+c)+3abc$

Substituindo os valores teremos:

$a^3+b^3+c^3=7$

$3.5-2.3+3abc=7 \Rightarrow abc=-\frac{2}{3}$ (VI)

$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)$

Substituindo todos os valores conhecidos teremos:

$a^5+b^5+c^5=3.9-2.7-\frac{2}{3}.5\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\frac{29}{3}$

Se não errei nada acredito que seja essa a resposta.

por **Jose Carlos** Qua 17 Nov 2010, 15:56

Olá andrerj,

Agradecemos sua participação, sempre importante para todos os participantes do Fórum. Assim, buscando otimizá-la, solicitamos que procure observar um dos itens do regulamento:

"VII- As questões devem ser postadas em modo texto, não sendo aceitas imagens ou links para o enunciado da questão. São aceitas imagens para adicionar figuras esclarecedoras ou que façam parte da questão."

tal item visa permitir uma melhor forma de "busca" às questões do Fórum.

Agradecemos por sua compreensão.

Um abraço.

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