Calcule o ângulo pedido

por **denisrocha** Qui 06 Dez 2012, 18:12

Na figura, sabe-se que OA = AB, N e C são as projeções ortogonais de A e B sobre uma tangente t, e que OÂC = 126º.
Calcule AĈB.

Calcule o ângulo pedido 36094050

Spoiler:

EDIT: o desenho anterior tava meio diferente, então eu dei uma editada nele Smile

por profpastel Qui 06 Dez 2012, 20:32

Vamos tentar!

Observe a imagem abaixo:

Calcule o ângulo pedido Calcangpedido

1o Passo: Como OA = AB e os segmentos OP, AN e BC são perpendiculares à reta, temos que PN=PC, pois OP, AN e BC são paralelas.

2o Passo: Como consequência temos que o triângulo APC é isósceles de base PC, pois sua altura é também mediana e, também, bissetriz de PÂC.

3o Passo: Os ângulos BCA e CAN são alternos internos, logo são congruentes. O mesmo ocorre com os ângulos PAN e APO. Chamei todos eles de "alfa".

4o Passo: Como OÂC=126o, BÂC=54o

5o Passo: Os ângulos POA e NAB são correspondentes, logo são congruentes, portanto $\alpha +54^{o}$

6o Passo: O ângulo NPA é um ângulo de segmento (ou semi-inscrito), logo tem a metade da medida de POA, ou seja $N\widehat{P}A=\frac{\alpha +54^{o}}{2}$

7o Passo: Trabalhando com a soma dos ângulos internos do triângulo APC teremos:

$2\alpha +\alpha +54^{o}=180^{o}\Rightarrow \alpha =42^{o}$

Very Happy