Polinômios

Se o resto da divisão do polinômio P(x)= ax³+bx²-3x + 2 por D(x)= x²-1 é -3, então P(x) é divisível por

Resp= x-2

Desde já agradeço a atenção !!

A questão tem alternativas ?

Se tiver, leia a Regra X I do Regulamento do fórum e siga a Regra.

Favor postar o enunciado integral da questão.

O enunciado da questão está integral . Tem alternativas sim, mas como eu já tinha colocado a alternativa correta, pensei que não precisaria das erradas.

Mas aí está :
a) x²-1
b)x²-4
c)x
d)x+2
e)x-2 Como já tinha postado, essa é a correta .

(mod x² - 1):
x² - 1 ≡ 0 => x² ≡ 1
x³ ≡ x

ax³ + bx² - 3x + 2 ≡ ax + b - 3x + 2 ≡ -3
Então:
x(a - 3) + (b + 5) ≡ 0
a = 3 e b = -5

P(x) = 3x³ - 5x² - 3x + 2
Dai você acha as raizes desse polinomio por Bolzano, o teorema das raizes racionais e irracionais conjugadas, fatoração, etc...

Não entendi o que você fez !
Se puder me explicar, eu agradeço !

Achei o resto da divisão usando o conceito de congruencias modulares e o igualei ao resto fornecido no enunciado.
Outro jeito de achar esse resto é através da divisão de polinomios:
ax³+bx²-3x + 2 | x²-1
---------------- ax + b
-ax³ +ax
----------------
bx² + (a - 3)x + 2
-bx² + b
----------------
(a - 3)x + (2 + b)

Aqui um jeito que acho mais "fácil" para perceber(acredito que congruência modular não é matéria de ensino médio):

Pela definição de divisão, sendo P(x) o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto, temos:

P(x)=D(x).Q(x)+R(x).

Você forneceu as seguintes equações:
P(x)= ax³+bx²-3x + 2
D(x)= x²-1 = x²-1² = (x+1).(x-1)
R(x) = -3

Substituindo tudo pela definição:

ax³+bx²-3x + 2 = (x+1).(x-1).Q(x) - 3

Perceba que não precisamos saber Q(x), pois se atribuirmos os valores x=-1 e x=1, todo
o termo (x+1).(x-1).Q(x) se anula. Portanto:

1) Sendo x=-1 -> -a+b+3+2=(-1+1).(-1-1).Q(x) - 3
=> -a+b+3+2=0.-2.Q(x) - 3 => -a+b+3+2=-3
=> -a+b=-8

2)Sendo x=1 ->a+b+-3+2=-3 => a+b= -2

Pelo sistema:
-a+b=-8
a+b=-2
Descobrimos que a=3 e b=-5.
Assim, P(x)= 3x³ - 5x² - 3x + 2

Agora, o modo mais rápido, como ele dá opções, é fazer o teorema do resto em cada uma das alternativas. P(x) será divisível por x-a, se P(a)=0.

a)x²-1 = x²-1² = (x+1)(x-1)
Se P(x) for divisível por (x+1) e por (x-1), ele é divisível por x²-1
Pelo teorema do resto:
P(1)=-3 => Não é divisível
Nem precisar fazer P(-1), por (x-1) já não é divisor.

Fazendo em cada uma das tentativas, percebemos que na letra e:
e)x-2
Pelo teorema do resto:
P(2)=3.2³ - 5.2² - 3.2 + 2 = 0
Assim, P(x) é divisível por x-2

Aprentice agradeço pela sua ajuda, mas realmente não sei esse assunto de congruência modular.
Sonik muito obrigada pela sua ajuda, e também pela outra maneira de resolver essa questão !!

soniky, parabéns pela paciência em detalhar a questão ...