Segundo membro da soma

Pessoal, se tenho uma soma que é assim: 12 + 10 + 8 + ... + S + ...

e, fazendo uma análise das parcelas:

12 = 2(6 - 0), denomino de μ1, isto só para deixar mais "organizado" o raciocínio.
10 = 2(6 - 1), denomino de μ2
8 = 2(6 - 2), denomino de μ3

Do que está acima, chego na seguinte conjectura da parcela: "2(6 - n)", isto para todo n pertencente aos naturais. O "S" presente na soma, poderia muito bem ser "2(6 - n)", né? Certo, porém, quero a SOMA das parcelas. Ou seja, quero o segundo membro, pois imagino sendo uma equação. Poderia utilizar a soma dos termos de uma PA, poderia?! Contudo, condiciono que não sei. E aí? Como faço para saber? Faço outras conjecturas? Imagino que sim, porém, como? Vou tentando?!

Tendo o segundo membro, tenho que provar, sim, para ver se ela é válida para uma próxima parcela, tipo "... +S+ (S-2)+...", porque é uma conjectura. Logo, a isso, faço uso da indução finita. Contudo, minha maior dúvida está em chegar no segundo membro da soma.

Por favor, alguém tem como responder-me de forma didática? Obrigado.

Bem, acho que não fui muito claro em minha pergunta. Sendo então...
Tendo eu, isto aqui:

∀n ∈ ℤ+

P(n): (1)²+(2)²+(3)²+...+(n)² = [n(2n+1)(n+1)]/6

Denoto o que está no primeiro membro como sendo A e, no segundo como A'. Logo, tenho A = A', certo? Supondo que não foi dado o segundo membro, ou seja, não tenho A'. Como faço para obtê-lo? Pois, o mesmo é quem "facilitará" a soma de tantas parcelas que possuo no primeiro membro e, fazer isso para parcelas relativamente numerosas será muito trabalhoso. De forma análoga, no meu post acima, tenho:

∀n ∈ ℤ. (esqueci desta condição)

P(n): 12 + 10 + 8 + ... + 2(6 - n) = ?

Ou seja, tenho o A (primeiro membro da equação acima), contudo, não o A'. Obtenho-o como? Sei que depois de obtê-lo tenho que provar, e, no meu caso, sendo a parte qual estou estudando, tentarei por indução finita. Porém, sem o segundo membro isso para mim, torna-se astronomicamente abstrativo.

Ficaria muito agradecido se tivessem a paciência de responder.

No caso da P.A de primeira ordem:
A primeira coisa a ser feita é definir o termo geral.Se considerarmos que a sequência começa na posição k = 0 temos:
a[k] = 12 - 2k = 2(6 - k), ∀k ∈ ℤ+
Dai você analisaria a sequência e observaria/provaria que a soma de termos equidistantes dos extremos é constante (chame de x) tanto no caso de uma sequência de tamanho par quanto de uma ímpar.
Você então reorganizaria essa soma usando o dado acima:
a[1] + a[2] + ... + a[n-1] + a[n] = (a[1] + a[n]) + (a[2] + a[n-1]) + ... = x + x + x + ... (n/2 vezes) = x*n/2

No caso da P.A de segunda ordem:
Eu, pelo menos, só perturbaria o somatório e usaria a fórmula da P.A (se necessário a provaria).Vide:


Tem outras maneiras de se chegar ao resultado acima, essa é a primeira que vem a minha mente (a mais direta, talvez?).

A indução finita é quando você quer provar uma hipótese.Pra se chegar a uma hipotese é outra história (o que não implica que uma vez definida não precise ser provada com PIF, por exemplo).
O resultado da P.A de primeira ordem é tido como conhecido/trivial em qualquer lugar.
A de segunda ordem você provavelmente teria que desenvolver.