Logaritmo (UFMG)

por Hunter_LeoHenriques Ter 23 Out 2012, 21:02

Olá, tudo bom? tenho acompanhado recentemente o portal e gostei bastante da prestação de serviços e da ajuda a nós vestibulandos e graduandos.. enfim, gostaria que me ajudassem em uma questão envolvendo logaritmos:

(UFMG) Os valores de x que satisfazem a equação logx (ax + b) = 2 são 2 e 3. Nessas condições, os respectivos valores de a e b são:

a resposta é d) 5 e -6
Adoraria ter em mãos a resolução, de antemão agradeço

por dlemos Ter 23 Out 2012, 21:06

o x ao lado do log esta multiplicando o (ax+b) ou é a base do log?

por Hunter_LeoHenriques Ter 23 Out 2012, 21:25

dlemos escreveu:o x ao lado do log esta multiplicando o (ax+b) ou é a base do log?

* é a base

por **Euclides** Ter 23 Out 2012, 21:51

$\\\log_x(ax+b)=2\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;x^2=ax+b\\\\x^2-ax-b=0\\\\x_1=\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}=3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2=\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}=2 \\\\\\\sqrt{a^2+4b}=6-a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a-4=\sqrt{a^2+4b}\\a^ 2+4b=36+a^2-12a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a^2+16-8a=a^2+4b\\4b+12a-36=0\;\;(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4b+8a-16=0\;\;(2)$
resolvendo o sistema você obtem a resposta.

por Hunter_LeoHenriques Ter 23 Out 2012, 22:06

Realmente muito obrigado Euclides.. Foi de grande ajuda..

por Hunter_LeoHenriques Ter 23 Out 2012, 22:14

Uma última pergunta Euclides, o fato de você elevar a base a 2 é alguma propriedade? e esse 2 é o valor do resultado na equação?

por **Euclides** Ter 23 Out 2012, 22:17

Ôopa! conceito:

$\log_a x=b \to a^b=x\;\;\;\;\;\;\;a,\;x>0$

por Alantec Qua 27 Ago 2014, 15:45

Por favor, poderia me explicar a parte do x1 e x2, porque deram 2 e 3, eu fiz aqui mas, travei nessa parte, não consegui entender.
Se puder me responder, agradeço muito.

por **Elcioschin** Qua 27 Ago 2014, 16:21

Eis um outro modo para você entender melhor

log_x(ax + b) = 2

Para x = 2 ---> log₂(2a + b) = 2 ----> 2a + b = 2² ---> 2a + b = 4 ---> I

Para x = 3 ---> log₃(3a + b) = 2 ----> 3a + b = 3² ---> 3a + b = 9 ---> II

II - I ---> 3a - 2a + b - b = 9 - 4 ---> a = 5

I ---> 2.5 + b = 4 ----> b = - 6