PA - Mostre que:

por **Matheus Bertolino** Ter 23 Out 2012, 16:31

Mostre que, se (a, b, c) e (1/b, 1/c, 1/d) são PAs, então:

a) (a²(b+c), b²(c+a), c²(a+b)) também é uma PA.

b) 2ad = c(a+c).

por **Robson Jr.** Ter 23 Out 2012, 17:21

b)

Se (a, b, c) é PA:

$\small 2b=a+c \text{ (Eq 1)}$

Se (1/b, 1/c, 1/d) é PA:

$\small \frac{2}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d} \Rightarrow 2bd=c(b+d)\Rightarrow b(2d-c)=cd\text{ (Eq 2)}$

Substituindo (Eq 1) em (Eq 2):

$\small cd=\frac{(a+c)}{2}(2d-c) \Rightarrow 2cd=2ad-ac+2cd-c^2 \Rightarrow {\color{Red} 2ad=c(a+c)}$

a)

Seja a identidade:

$\small (a+c)^3=a^3+3a^2c+3ac^2+c^3$

Desenvolvendo:

$\small (a+c)^3=a^2(a+3c)+c^2(3a+c) \\\\ \Leftrightarrow \ (a+c)(a+c)^2=a^2((a+c)+2c)+c^2(2a + (a+c))$

Mas da Eq 1, sabemos que a + c = 2b. Substituindo convenientemente:

$\small (a+c)(2b)^2=a^2(2b+2c)+c^2(2a+2b) \\\\ \Leftrightarrow \ 2[b^2(a+c)]=[a^2(b+c)]+[c^2(a+b)] \\\\ \Leftrightarrow \ {\color{Red} PA:\left \{ a^2(b+c), \ b^2(a+c), \ c^2(a+b) \right \}}$