Polinomiocom Intervalo

Sendo I um intervalo de números reais com
extremidades em a e b, com a < b, o número
real b − a é chamado de comprimento de I.
Considere a inequação
6x^4 − 5x³ − 7x² + 4x < 0.
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a?

Por favor, me mostrem a solução detalhada. Obrigado
Resposta: 11/6

hector escreveu:Sendo I um intervalo de números reais com
extremidades em a e b, com a < b, o número
real b − a é chamado de comprimento de I.
Considere a inequação
6x^4 − 5x³ − 7x² + 4x < 0.
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a?

Por favor, me mostrem a solução detalhada. Obrigado
Resposta: 11/6

Boa noite, Hector.

Veja no link a seguir, questão 7 (essa sua) resolvida:

http://www.rumoaoita.com/materiais/ita_resolvidas/math_99_00.pdf







Tenha um fim de semana abençoado pelo Senhor Jesus!

Eu vi essa solução. Mas, não entendi como foi descoberta as raízes 0 e -1. Poderia me explicar?

hector escreveu:Eu vi essa solução. Mas, não entendi como foi descoberta as raízes 0 e -1. Poderia me explicar?

Boa noite, Hector.

Encontrei assim as raízes do polinômio P(x):

6x^4 − 5x³ − 7x² + 4x < 0.

Primeiramente, experimentei x=0 e como todos os termos têm "x", o resultado foi P(x)=0.
A seguir, experimentei x=1, não resultou P(x)=0.
Continuando, voltei-me para x=-1:
6*(-1)⁴ - 5*(-1)³ - 7*(-1)² + 4*(-1) = 6*1 - 5*-1 - 7*1 + 4*-1 = 6 + 5 - 7 - 4 = 0.
Até aqui tinha, como raízes do polinômio citado, 0 e -1.

Dividindo P(x) por x+1 (no papel), encontrei 6x³ - 11x² + 4x, que é igual a x(6x² - 11x + 4).
Fatorei 6x² - 11x + 4 e encontrei (2x-1)(3x-4), donde extraí as outras duas raízes:
2x-1=0 → 2x=1 → x = 1/2
3x-4=0 → 3x=4 → x = 4/3

E foi assim obtive as quatro raízes do polinômio:
0, -1, 1/2 e 4/3.

Eu só não soube identificar os intervalos em que P(x) era negativo.

Não saberia fazer por métodos tradicionais ou acadêmicos...





Um abraço.

Muito obrigado, entendi agora o exercício.

hector

P(x) = 6x^4 − 5x³ − 7x² + 4x < 0

P(x)= x*(6x³ − 5x²− 7x + 4) < 0

1ª conclusão: x = 0 é uma raiz do polinômio

2ª conclusão: Se existirem raízes racionais, elas serão dadas pela razão entre os divisores do termo independende e os divisores do coeficiente do termo de maior grau:

Divisores de 4 -----> ± 1, 2, 4

Divisores de 6 -----> ± 1, 2, 3, 6

Prováveis raízes racionais: ± 1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 4/3, 2, 4

Testando primeiramente os valors inteiros descobre-se que x = - 1 é uma raiz

Depois aplica-se Briott-Rufinni e calcula-se as outras duas raízes: x = 1/2 e x = 4/3

Por que 0 é raiz do polinomio?
vc acho 0 pela fatoração que ficou: P(x)= x*(6x³ − 5x²− 7x + 4) < 0
e substituiu o primeiro "x" por 0?
pra descobrir as outras raízes vc testou uma por uma as provaveis raízes, na equação?

Elcioschin escreveu:

2ª conclusão: Se existirem raízes racionais, elas serão dadas pela razão entre os divisores do termo independende e os divisores do coeficiente do termo de maior grau:

Essa 2ª conclusão da sempre certo?
E como fica a análise dos sinais?
Não sei fazer essa análise em polinomios de 4 grau.


Obrigado

hector

Para achar as raízes do polinômio basta fazer P(x) = 0:

x*(6x³ − 5x²− 7x + 4) = 0

No 1º membrro você tem um produto de x por um polinômio do 3º grau. Para este produto ser nulo:

a) x = 0

b) 6x³ - 5x² - 7x + 4 ----> Daqui para a frente eu já expliquei sobre as raízes racionais

O poliõmio fatorado = (x + 1)*x*(x - 1/2)*(x - 4/3)

Descobertas as raízes x = -1, x = 0, x = 1/2 e x = 4/3 basta agora fazer a tabela de sinais:

................... -1 ........... 0 ............ 1/2 .......... 4/3 .............

x + 1 .... - ..... 0 ....+ ............ + .............. + ............. + ......

x ......... - ............. - .... 0 .... + .............. + ............. + ......

x-1/2 ... - ............. - ............ - ...... 0 ..... + ............ + .......

x-4/3 ... - ............. - ............ - ............... - .... 0 .... + ........

P(x) ..... + .... 0 ..... - ..... 0 ... + ...... 0 ..... - .... 0 .... + ........

Para P(x) < 0 -----> -1 < x < 0 e 1/2 < x < 4;3

Comprimento dos intervalos:

a) 0 - (-1) = 1
b) 4/3 - 1/2 = 5/6

Somas dos intervalos ----> S = 1 + 5/6 -----> S = 11/6