Fórmula da velocidade de um pulso

Olá, gostaria de saber de onde vem a fórmula da velocidade de um pulso de uma onda unidimensional:
v=√(T/µ) , em que T= tensão no fio, e µ=densidade linear do fio
tentei procurar por alguma demonstração no google, mas não achei, agradeço se puderem me explicar

Obrigado

Conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferencias e Séries de Taylor são necessárias para a demonstração usual, a qual fornece um valor aproximado:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_sur_une_corde_vibrante#.C3.89quation_d.27onde_pour_une_corde_tendue

Por causa disso os autores de livros do Ensino Médio não demonstram ou mostram o porquê da relação:

v ≈ √(F/µ)

Omde "v" é o módulo do vetor velocidade da onda (pulso), "F" o módulo da tração (tensão) na corda (fio) e µ é a densidade linear de massa (massa linear) do fio.

Como é um valor aproximado, vamos também fazer uma aproximação e, sem os conhecimentos acima mencionados, tentar "mostrar" o porquê.

Se for feita a experiência fixando-se o comprimento do fio e alterando-se a tração (tensão) e a força para se tanger inicialmente o fio, como se tocássemos as cordas de um violão, os dados experimentais nos informariam que:

(i) Quanto mais tensa a corda estiver, maior é a velocidade e maior a freqüência, gerando um som mais alto (ou agudo, popularmente).

v ∝ F

(ii) Quanto maior a massa linear (densidade linear de massa) menor é a velocidade e menor a freqüência, gerando um som mais baixo (ou grave, popularmente).

v ∝ 1/µ

(iii) Quanto maior a força inicial aplicada ao fio, maior é amplitude da onda, gerando um som de maior intensidade (volume ou, popularmente "mais alto"), mas mantendo-se a velocidade e a freqüência, indicando que a velocidade não é dependente da força inicial.

Podemos, então, dizer que "v" é função de "F" e "µ" :

v = f(F, µ)

Uma análise numérica nos daria o grau de proporcionalidade ( linear, quadrático...), em suma, uma função que modelaria o gráfico da função obtida pelos dados experimentais.

Mas, uma análise dimensional (das dimensões, das unidades) poderia acelerar o processo de "descoberta"...

v --> m/s

F --> kg.m/s²

µ --> kg/m

m/s =? (kg.m/s²)(kg/m)

m/s =? m²/s²

m/s = √ (m²/s²)

Uma boa sugestão para a nossa desconhecida relação seria:

v = √(F/µ)

Quando verificássemos os dados experimentais, comprovaríamos nossa desconfiança !

Já sabemos, heuristicamente e experimentalmente, que a relação é

v = √(F/µ)

Agora vamos tentar "demonstrá-la" através de "Leis" e propriedades conhecidas e consideradas verdadeiras.

O que acontece quando se aplica uma força inicial a uma corda e ela se distende ?

Microscopicamente estamos tentando afastar as partículas que compõe a corda e a corda, teimosa que é, está querendo nos impedir, nos puxando da mesma forma.

Conhecemos isso pelo nome chique de "3ª Lei de Newton" ou "Lei da Ação Reação".

Nosso dedo sofre uma deformação pelas repulsões entre os elétrons dele e os da corda.

A corda sofre também uma deformação elástica, se distendendo, aumentando um pouco seu comprimento, acumulando energia potencial elástica.

Quando a soltamos (ou não mais a tocamos) ela fica entregue a sua própria sorte... e a energia potencial vai se transformando em cinética, sendo que o sistema corda-suportes está agora isolado, submetido somente as suas próprias interações mútuas.

Ep = k.x²/2

Ec = m.v²/2

A tração (tensão) na corda pode ser dada por:

F = k.Δx

Temos que a energia potencial é zero para a corda não distendida e máxima quando distendida até L + Δx. O contrário ocorre com a energia cinética.

Seja "m" a massa correspondente a Δx.

Tem-se então:

mv²/2 = kΔx²/2

v² = k.Δx.Δx/m

Como:

F = k.Δx

m = µ.Δx

v² = FΔx/(µ.Δx)

v² = F/µ

v = √(F/µ)

Essa velocidade da porção Δx e sua respectiva quantidade de movimento vai se transmitindo a cada elemento Δx da corda.

Note que é uma aproximação !

Estamos supondo que não há força peso, mas há, já que consideramos o fio com massa...

Quase tudo é uma boa aproximação...

Saudações aproximadas !

Muito bom, rhian.

Nossa, muito bom,show de bola, obrigado rihan

Eu ja tinha postado essa demo em algum tópico, certeza! Se n me engano foi do crhistian mas n encontrei de jeito nenhum ^^
Imagem retirada de um slide que tenho no pc:
http://www.freefileconvert.com/converted/4f484e5930265/velocidade_onda.swf

era uma animação, mas acho que da pra entender..

Super Luck,

O link não tá legal...

Fiquei curioso !

Malz, o link ficou off.