Resolva a equação

Relembrando a primeira mensagem :

Determine todas as soluções inteiras positivas da equação: x² - y!= 2001

Olá a todos,

Primeiramente suponha: y > 5, logo: y! = 9k
Agora analisando a congruência mod 3:

x² -y! ≡ 2001 mod 3
x² -y! ≡ 0 mod 3
x² ≡0 mod 3
x² = 3k', como x² é quadrado perfeito multiplo de três ele também sera multiplo de 9:
x² = 9k''

9k'' - 9k = 2001
9(k''-k) = 3*23*29
(k''-k) = 23*29/3

Absurdo pois k'' e k são inteiros, logo a equação não adimite solução para y>5.

Restam 5 casos:
p/ y =1
x² = 2002 =>sem solução
p/y =2
x² = 2003 => sem solução
p/ y =3
x² = 2007 =>sem solução
p/ y =4
x² = 2025 => x=45
p/y =5
x² = 2121 => sem solução

Então a unica solução é: (45,4)

É isso aí mesmo, muito bom

Boa tarde!
Victor, para chegar na sua conclusão de que y<5, você supos que y>5 e chegou num absurdo, porém há outra forma de provar sem ser por absurdos?
Há alguma maneira de chegar numa conclusão que y<5 sem supor y>5?

Grato!

O problema não pede para se DEMONSTRAR que só há uma solução.

Pede para DETERMINAR as soluções inteiras positivas.

x² - y! = 2001

A função fatorial é definida para os inteiros não negativos, então, sendo y inteiro não negativo, y! também o é.

Se x tem que ser inteiro positivo, x² também o será.

Se imaginarmos y! como uma função contínua real, ela pode ser bem aproximada pela do tipo exponencial de base maior que 1, crescendo monotonamente.

Se pensarmos em quando x² se iguala x! , podemos observar que em x=1 são iguais, de x=2 a x=3, x² > x! e, a partir de 4, x² < x! , indicando uma interseção ("raiz").

A partir desta "raiz" compreendida entre 3 e 4, a função fatorial cresce monotonamente e mais rapidamente que a quadrática.

Se deslocamos a função fatorial de 2001, só mudaremos o ponto de encontro, mas as curvas só se encontram uma única vez, devido a translação:



O que sabemos, ao lermos qualquer função quadrática e qualquer exponencial, é que, a partir dessa "raiz", elas crescem diferentemente, portanto a diferença entre elas varia sempre, sempre crescendo, não podendo haver qualquer diferença que se repita.

Temos somente que encontrar quando a diferença entre um quadrado de um número qualquer e um fatorial de outro número qualquer resulta em 2001. E essa solução é única.

Se fosse um exame com muitas questões, eu faria assim:

Sabendo que x² tem que ser maior que 2001, e que y! deve ser pequeno (para poder ser resolvido em pouco tempo...), como primeiro bom "chute" mediano, sendo x² >> y! :

√(2001) ≈ 44,73 ≈ 45

Testando:

45² -y! = 2001

2025 - 2001 = y!

24 = y!

4 = y


Tentem resolver, tendo bastante tempo... :twisted: :

x² - y! = 484

Saudações fatoriais !