Eletrização

Eu criei uma questão de eletrização, mas cheguei em uma parte que eu não consegui passar (não sei se está certo e nem sei se é possível fazer essa questão) e preciso de ajuda!

Seja [latex]a_{1},a_{2},a_{3},... ,a_{2024}[/latex] pequenas esferas condutoras e isoladas que suas cargas formam uma progressão aritmética de razão [latex]r[/latex]. As esferas que, inicialmente estão separadas entre si, são submetidas a contatos sucessivos de modo que [latex]a_{1}[/latex] e [latex]a_{2}[/latex] atinjam seu equilíbrio eletroestático, que se obtém [latex]a_{1}{}' = a_{2}{}'[/latex]. Após isso, [latex]a_{2}{}'[/latex] entra em contato com [latex]a_{3}[/latex] até atingir novamente o equiliíbrio, com [latex]a_{2}{}'' = a_{3}{}'[/latex], repetindo o processo até que [latex]a_{2023}{}'' = a_{2024}{}'[/latex]. Depois, é colocado a esfera [latex]a_{2024}{}'[/latex] de massa igual a [latex]m[/latex], a uma distância [latex]d[/latex] da esfera [latex]a_{1}{}'[/latex]. Essa esfera é liberada, de maneira que se move em relação a [latex]a_{1}{}'[/latex]. Determine a aceleração em [latex]m /s^{2}[/latex] da carga de [latex]a_{2024}{}'[/latex], no instante de sua liberação.


[latex] \frac{a_{1} + a_{2}}{2} = a_{2}{}' \\e\;\ \frac{ a_{2}{}' + a_{3}}{2} = a_{3}{}' \\\frac{ \frac{ a_{1}{} + a_{2}}{2} + a_{3} }{2}= a_{3}{}' \;\ logo: \;\frac{ a_{1}{} + a_{2} +2a_{3}{}}{4} = a_{3}{}' [/latex]

Fazendo a conta, percebe-se que

[latex]\frac{ a_{1}{} + 2^{0}a_{2} +2^{1}a_{3}{}+ 2^{2}a_{4} +2^{3}a_{5} +... + 2^{2022}a_{2024}{}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} + 2^{0}(a_{1}+r) +2^{1}(a_{1}+2r){}+ 2^{2}(a_{1}+3r) +... + 2^{2022}(a_{1}+2023r){}}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{} (1+2^{0}+2^{1}{}+ 2^{2} +... + 2^{2022}{})+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' \\\frac{ a_{1}{}(1 +2^{2022} -1 )+r(2^{0}1+2^{1}2+2^{2}3+...+2^{2022}2023)}{2^{2023}} = a_{2024}{}' [/latex]

Gostaria de saber se há como progredir ou se errei em alguma conta acima! Obrigado!

Bem trabalhoso

Sejam q1, q2, q3, q4, q5, q6 .......... q2023, q2024 as cargas de cada uma

q2 = q1 + r ---> q3 = q1 + 2.r ---> q4 = q1 + 3.r ............ ---> 
q2023 = q1 + 2022.r ---> q2024 = q1 + 2023.r

q1 com q2 ---> q'1 = q'2 = (q1 + q2)/2 -->q'1 = q'2 = (q1 + q1 + r)/2 
q'1 = q'2 = q1 + r/2 ---> I 

q'2 com q3 ---> q'3 = (q'2 + q3)/2 --> q'3 = (q1 + r/2 + q1 + 2.r)/2 
q'3 = q1 + 5.r/4 ---> II

q'3 com q4 ---> calcule q'4 e veja se descobre a lei de formação

E finalmente calcule q'2024, em função de q1 e r

Calcule a força F entre q'1 e q'2024 ---> F = k.q'1.q'2024/d² 

F = m.a ---> a = F/m

Mestre, eu entendi o que o senhor escreveu, mas surgiu uma dúvida? Como eu vou achar o valor completo de a2024' ? Eu consegui achar uma lei de formação, mas não consegui fazer nada com isso... [latex]\frac{r}{2}, r + \frac{r}{2^2}, r + \frac{r}{2^3}, r + \frac{r}{2^4},..., r + \frac{r}{2^{2023}}[/latex] para a2', a3',..., a2024'

Existem os dados: a1, r, n = 2024

As respostas terão que ser dadas em função destes dados!

Eu mostrei que a2024 = a1 + 2023.r

Você não pode melhorar o valor de a2024

Vc tem que descobrir a lei de formação, completando meus cálculos.

Assim, esqueça sua solução e continue a minha.