Equação exponencial

por **Elcioschin** Sex 19 Jan 2024, 10:23

2^a + 2^b + 2^c = 148

Sendo a < b < c, usando Álgebra, calcule os valores a, b, c

por amandacze Sex 19 Jan 2024, 11:24

Não imaginei outra forma além de conhecendo os multiplos de dois,

2^2+2^4+2^7=148

mas deve ter algum jeito mais divertido de achar esses valores hehe

por **Elcioschin** Sex 19 Jan 2024, 11:32

Existe sim, um caminho algébrico para resolver, sem ser por tentativas. Tente.

por amandacze Sex 19 Jan 2024, 16:37

Elcioschin escreveu:Existe sim, um caminho algébrico para resolver, sem ser por tentativas. Tente.

Se utiliza log? Estou tentando.

por amandacze Sex 19 Jan 2024, 19:11

Alguém? Não consegui essa questão.

por tomate Sex 19 Jan 2024, 19:16

Vou dar uma dica, talvez ajude a resolver: 2^x + 2^x = 2^(x+1)

por **Elcioschin** Sex 19 Jan 2024, 22:01

Eis uma solução:

2^a + 2^b + 2^c = 148

.......(2^a + 2^b + 2^c)
(2^a)^. ---------------- = 2².37
.............. 2^a

(2^a).(1 + 2^b/2^a+ 2^c/2^a) = 2².37 ---> Igualando termo a termo:

1) 2^{a =}2²---> a = 2

2) 1 + 2^b/2^a+ 2^c/2^a = 37 ---> 2^b/2²+ 2^c/2² = 36 --->

2^b/4+ 2^c/4 = 36 ---> 2^b+ 2^c = 144

(2^b).(2^b + 2^c)
...... ---------- = (2⁴).9
........... 2^b

^(2[sup]b).(1 + 2^c/2^b)[/sup] = 2⁴.9

I) b = 4

^{II) 1 + 2[sup]c}/2⁴ = 9 ---> 2^c-4 = 2³ ---> c = 7[/sup]

por tomate Sáb 20 Jan 2024, 00:53

Outra solução:

2^a + 2^b + 2^c = 148 =
2².37 = 2² + 2².36 = 2² + 2.2².36/2 =
2² + 2³.18 = 2² + 2⁴.9 = 2² + 2⁴ + 2⁴.8 =
2² + 2⁴ + 2⁵.4 = 2² + 2⁴ + 2⁶.2 =
2² + 2⁴ + 2⁷

por **tales amaral** Sáb 20 Jan 2024, 10:45

Elcioschin escreveu:
..............

(2^a).(1 + 2^b/2^a+ 2^c/2^a)= 2².37 ---> Igualando termo a termo:

Acho bom notar que aqui a gente usou o "Teorema Fundamental da Aritmética". Os dois números são iguais, e pelo teorema fundamental da aritmética, sua decomposição em fatores primos é única. Logo devemos ter a = 2.

por amandacze Sáb 20 Jan 2024, 11:22

Elcioschin escreveu:Eis uma solução:

2^a + 2^b + 2^c = 148

.......(2^a + 2^b + 2^c)
(2^a)^. ---------------- = 2².37
.............. 2^a

(2^a).(1 + 2^b/2^a+ 2^c/2^a)= 2².37 ---> Igualando termo a termo:

1) 2^{a =}2²---> a = 2

1 + 2^b/2^a+ 2^c/2^c = 37 ---> 2^b/4 + 2^c/4 = 36 ---> 2^b + 2^c= 144 --->

(2^b).(2^b + 2^c)
...... ---------- = (2⁴).9
........... 2^b

^(2[sup]b).(1 + 2^c)[/sup]= (2⁴).9 ---> Igualando termo a termo:

I) b = 4

^{II) 1 +}2^c-4^{= 9 --->}2^{c-4 = 8 --->}2^{c- 4 = 2³ ---> c = 7}