Cálculo das principais cevianas

Achando o maior lado de um triângulo cujo perímetro é 36, sabendo que as suas alturas são proporcionais aos números 6, 3 e 2.

a) 6 
b) 12 
c) 18
d) 15
e) 16


Gab : 18

Olá!

Vamos dar nome às coisas: Chamarei os lados de a, b e c. E chamarei de \(h_a, h_b \) e \( \; h_c\) as alturas desse triângulo. Cada uma relacionada com sua base ( \(h_a\) para a, e assim vai). Chamemos essa constante de proporcionalidade de x, logo:

\(h_a = 6x\)
\(h_b = 3x\)
\(h_c = 2x\)

Podemos comparar a área desses triângulos em função de cada uma dessas alturas. A área será exatamente a mesma, já que estamos falando do mesmo triângulo, então:

\(\frac{a h_a}{2} = \frac{a h_b}{2} = \frac{c h_c}{2} \implies 2ax=6bx=3cx \therefore \boxed{2a=6b=3c} \; (I) \)

Olhemos para o perímetro. Podemos usar I para encontrar todos os lados do triângulo, pois veja:

\( a+b+c=36 \implies a+\frac{a}{3} + \frac{2a}{3} = 36 \therefore \boxed{a=18} \)

De imediato, teremos b e c:

\( \boxed{b = 6} \; e \; \boxed{c = 12}\)

Portanto, nossa resposta é 18.

Sejam ABC o triângulo e a, b, c os seu lados, em ordem crescente de tamanho.
Sejam hA, hB, hC as alturas relativas aos vértices A, B, C

hA/6 = hB/3 = hC/2 ---> hB = hA/2 ---> hC = hA/3

S = área do triângulo:

S = a.hA/2 = b.hB/2 = c.hC/2 ---> a.hA = b.hA/2 = c.hA/3 --->

a = b/2 = c/3 ---> b = 2.a ---> c = 3.a

a + b + c = 36 ---> a + 2.a + 3.a = 36 ---> a = 6

b = 12 ---> c = 18

Elcioschin escreveu:Sejam ABC o triângulo e a, b, c os seu lados, em ordem crescente de tamanho.
Sejam hA, hB, hC as alturas relativas aos vértices A, B, C

Obrigado Elcioschin ajudou bastante

Zeroberto escreveu:Olá!

Vamos dar nome às coisas: Chamarei os lados de a, b e c. E chamarei de \(h_a, h_b \) e \( \; h_c\) as alturas desse triângulo. Cada uma relacionada com sua base ( \(h_a\) para a, e assim vai). Chamemos essa constante de proporcionalidade de x, logo:

Valeu Zeroberto ajudou muito

i have converted the answer to cm .