Cálculo das principais cevianas

As bases de um trapézio medem 25 m e 32 m e os lados não paralelos 7 m e 12 m. Calcular a distância entre os pontos médios das bases.

a)9,15
b)9,16
c)9,14
d)9,18
e)9

Não tenho gabarito

Tens certeza quantos os valores dos lados? Tentei desenhar o trapézio e não consegui.

Elcioschin escreveu:Tens certeza quantos os valores dos lados? Tentei desenhar o trapézio e não consegui.

Eu acho que sim, essa questão é de uma apostila que eu tenho com assunto CN

Então tende desenhar o trapézio, assim:

Sugiro usar escala com fator 0,4: 

Desenhe na parte inferior AB = 32 m ---> No desenho = 12,8 cm

Com centro em A, trace um semi-circunferência na parte superior de B com comprimento AD = 7 m ---> no desenho 2,8 cm

Com centro em B, trace um semi-circunferência na parte superior de B com comprimento BC = 12 m ---> no desenho 4,8 cm

Descubra, agora, dois pontos, um em cada semi-circunferência cada, na mesma altura em relação a AB de modo a obter CD = 25 m ---> no desenho 10 cm

Fiz a figura no SolidEdge. Garanti nas relações de construção que o lado de 25 é paralelo ao de 32. Confesso que fiquei em dúvida se isso pode ser chamado de trapézio. Se alguém tiver uma resposta sobre isso, agradeço...

Bom, a figura existe, vamos ver como chegar nesse 9,18. Tratando a figura temos:

Do retângulo formado no centro da figura, conclui-se que:
25-x = 32 - y
(I)   y = 7 + x 

Pitágoras no triangulo menor, de lados x,h,7:
7² = x² + h²
(II)   h² = 7² - x²


Pitágoras no triângulo maior, de lados y,h,12:
(III)   12² = h² + y ²


De (I) e (III):
12² = h² + (7-x)²
Aplicando (II):
12² = 7² - x² + (7-x)²
14x = 144 - 98
x = 23/7

Aplicando o valor de x em (II):
h² = 7² - (23/7)²
h = (12√13)/7


Agora é possível achar as medidas de α e β

Analisando a figura:
α = 32 + x
α =95/14


Pitágoras no triângulo α, β, h:
β² = h² + α²
β = ((12√13)/7)² + (95/14)²
β = (√337)/2
β  = 9,1787
β ≈ 9,18

Eu nunca vi trapézios cuja base maior faça com um ângulo maior do 90º com um dos lados adjacentes:

Bem resolvido, Felipe.
Só uma complementação no cálculo de \(\alpha \) onde faltou indicação.

\( \alpha = \frac{32}{2} + x - \frac{25}{2} = 16 + \frac{23}{7} - 12,5 = \frac{95}{14} \)

A propósito, isso também é trapézio. É raro de se ver mas ele existe. É um quadrilátero com dois lados paralelos e de medidas diferentes; é só o que basta, ele é trapézio.

Alguns anos atrás aconteceu aqui no fórum uma questão com um trapézio desses, procurei agora e não a encontrei, pena porque nela se falava o sobrenome (adjetivo) correto desse bicho e eu queria lembrar.

De qualquer forma é um trapézio escaleno. Eu chamaria de trapézio obtusângulo, já digo porquê.

Como se gera um trapézio? Para mim o trapézio é filho do triângulo. Tome-se qualquer triângulo e corte-se-o por uma paralela a um dos lados, jogue fora a ponta triangular e o que sobra é trapézio. Pronto já temos todos os tipos de trapézio, a depender de qual triângulo foi originado. Se tomamos de um triângulo obtusângulo e o cortamos por uma paralela ao lado vizinho do ângulo obtuso, teremos o tipo de trapézio da questao deste tópico.

Eu acho que o enunciado falha ao não especificar o tipo desse trapézio, ainda mais que não é usual vê-lo e que pode gerar embaraços a resolvedores mais escrupulosos como o Élcio. No entanto, se acreditarmos ser um trapézio trivial também conseguimos chegar na resposta correta -- eu tentei isto.



M e N são pontos médios. DM = MC = 25/2 = 12,5 ; AN = NB = 32/2 = 16 .
AE = AN - EG - GN  ----->  AE = 16 - 12,5 - a  ----->  AE = 3,5 - a
FB = NB + NG - GF ----->  FB = 16 + a - 12,5  ----->  FB = 3,5 + a

por Pitágoras nos triângulos ADE e BCF:
h² = 7² - (3,5 - a)² = 12² - (3,5 + a)²
49 - 12,25 + 7a - a² = 144 - 12,25 - 7a - a²
14a = 95  ----->  a = 95/14 ≈ 6,79
voltando num dos triângulos retângulos,
h² = 7² - (3,5 - 95/14)²  ----->  h² = 49 - 529/49 = 1 872/49  ----->  h = 12√13/7 ≈ 6,18


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note, no triângulo da esquerda, que (3,5 - a) ≈ - 3,29 -- valor negativo, significando que a projeção de D deve estar à esquerda de A.