Função 2° grau - FATEC

por AlanisAlanis Sáb 27 maio 2023, 20:30

(Fatec) Seja f a função quadrática, de R em R, definida por f(x) = (k + 3) · (x² + 1) + 4x, na qual k é uma constante real.

Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se:

a) k > –3.
b) k > –1.
c) –3 < k < 1.
d) k < 1 ou k > 5.
e) k < –5 ou k > –1.

o gabarito está B mas vi em outros lugares como e, alguém conseguiria explicar? Obrigada!!

por **Elcioschin** Sáb 27 maio 2023, 22:39

f(x) = (k + 3)·(x² + 1) + 4.x ---> f(x) = (k + 3)·x² + 4.x + (k + 3)

A função é uma parábola
Para a parábola estar sempre acima do eixo x [f(x) > 0] o coeficiente do termo x² deve ser positivo:

k + 3 > 0 ---> k > - 3

O gabarito está errado e a solução de "outros lugares" também está errada

O correto é a) ou então existe erro no enunciado

por **petras** Dom 28 maio 2023, 11:34

Elcioschin escreveu:f(x) = (k + 3)·(x² + 1) + 4.x ---> f(x) = (k + 3)·x² + 4.x + (k + 3)

A função é uma parábola
Para a parábola estar sempre acima do eixo x [f(x) > 0] o coeficiente do termo x² deve ser positivo:

k + 3 > 0 ---> k > - 3

O gabarito está errado e a solução de "outros lugares" também está errada

O correto é a) ou então existe erro no enunciado

Élcio, faltou a outra condição: ∆ < 0. SOmente f(x) > 0 não garante que ela estára totalmente acima do eixo x.
Resolvendo com essa nova condição chegaremos a k > -1

por **Elcioschin** Dom 28 maio 2023, 13:41

Correto!

∆ < 0 ---> 4² - 4.(k + 3).(k + 3) < 0 ---> 4 - (k² + 6.k + 9) < 0 --->

k² + 6.k + 5 > 0 ---> Outra parábola com raízes x = - 5 e x = - 1

Ela é positiva exteriormente às raízes: x < - 5 e x > - 1

A interseção entre as duas soluções resulta x > - 1

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