(FATEC - 1988) Equação do 2º grau, inequação

(FATEC-1988) Seja a equação do  grau , onde . Para que  sejam raízes da equação e , deve-se ter  pertencente ao conjunto:


[latex]\\a)\,\,\,]- \infty\,;\,\,0[\\b)\,\,\,]\,1\,,\,\,+ \infty[\,-\,\{0\}\\c)\,\,\,]\,- \infty\,,\,\,-4[\,\cup\,]0\,,\,\,+ \infty[\\d)\,\,\,]-3\,,\,\,0[\\e)\,\,\,]- \infty\,,\,\,5[\,-\,\{0\}[/latex]

Gabarito :

Essa eu realmente não sei como fazer...

Considerando a função quadrática [latex]f(x)=2mx^{2}-2x-(3m+2)[/latex].

Seja [latex]y_{v}[/latex], o [latex]y[/latex] vértice da parabóla.

Temos duas situações que podem ser visualizadas abaixo.



No primeiro caso, temos que [latex]y_{v} \leq f(1) < 0 [/latex].

Assim, para [latex] f(1) < 0 [/latex], vem que [latex]2m.1^{2}-2.1-(3m+2)<0[/latex], o que implica:

[latex]-m-4<0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ m>-4[/latex]           (1)


Já para [latex]y_{v} \leq f(1) [/latex], temos:

[latex]-\frac{\Delta}{4a} \leq f(1) [/latex]


[latex]-\frac{24m^{2}+16m+4}{8m} \leq -m-4 [/latex]


[latex]\frac{6m^{2}+4m+1}{2m} \geq m+4 [/latex]


[latex]\frac{6m^{2}+4m+1}{2m}-(m+4) \geq 0[/latex]


[latex]\frac{4m^{2}-4m+1}{2m} \geq 0[/latex]


Logo,


Assim, [latex] 0 < m < \infty [/latex]                 (2)


De (1) e (2), vem:

[latex] m \in \ \ ]0, \infty [ [/latex]                   (3)


No segundo caso, temos [latex]0 < f(1) \leq y_{v}[/latex].

De maneira análoga ao primeiro caso, encontraremos que:

[latex] m \in \ \ ]- \infty , -4[ [/latex]               (4)


Portanto, de (3) e (4), vem:


[latex] m \in \ \ ]- \infty , -4[ \ \ \cup \ \ ]0, \infty [ [/latex]