Triângulo e Trapézio

por Ana Laura Guimarães Qua 28 Set 2022, 12:43

Uma praça é dividida em duas partes de mesma área, formadas por um triângulo retângulo (Área I) e por um trapézio (Área II), como pode ser visto na figura a seguir.

Triângulo e Trapézio GT7qwAAAABJRU5ErkJggg==

Triângulo e Trapézio GT7qwAAAABJRU5ErkJggg==

A distância entre os pontos D e E é de 2 metros e a distância entre os pontos D e B é de 4 metros. A área da praça em m² é de:

a) 8[latex]\sqrt{2}[/latex]
b) 4[latex]\sqrt{2}[/latex]
c) 8 + 8[latex]\sqrt{2}[/latex]
d) 4 + 4[latex]\sqrt{2}[/latex]

Gabarito:

Boa tarde, como vocês resolveriam essa questão?

por **Elcioschin** Qua 28 Set 2022, 12:56

BC = x ---> AD = y ---> DE = 2 ---> BD = 4

∆ ADE semelhante a ∆ ABC ---> AD/DE = AB/BC ---> y/2 = (y + 4)/x ---> x.y = 2.y + 8

sI = DE.AD/2 ---> sI = 2.y/2 ---> sI = y

sII = s(ABC) - sI ---> sII = BC.AB/2 - y---> sII = x.(y + 4)/2 - y

sII = sI ---> Complete

por catwopir Qua 28 Set 2022, 13:07

Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8

por Ana Laura Guimarães Qua 28 Set 2022, 13:58

catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8

Olá, não entendi a sua letra , oq está escrito em:
SABC = 2 ___ (primeira linha)

por catwopir Qua 28 Set 2022, 14:33

Ana Laura Guimarães escreveu:
catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8
Olá, não entendi a sua letra , oq está escrito em:
SABC = 2 ___ (primeira linha)

Foi erro meu, esqueci de explicar.

Chamei de A a área das figuras, como S_ABC é a soma das duas, então A+A=2A

por Ana Laura Guimarães Qua 28 Set 2022, 17:58

catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8

Fiquei com algumas dúvidas

I - como você chegou em x=4(2+√2). No meu não deu esse valor ;[

II - Por que você considerou S_ABC = 2A ? (área do trapézio = área do triângulo ADE)

III - "a/2a = 4/BC²" essa semelhança aqui é "áreaI/ áreaII = base I/ baseII" ?

por Ana Laura Guimarães Qua 28 Set 2022, 17:59

Ana Laura Guimarães escreveu:
catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8
Fiquei com algumas dúvidas

I - como você chegou em x=4(2+√2). No meu não deu esse valor ;[

II- "a/2a = 4/BC²" essa semelhança aqui é "áreaI/ áreaII = base I/ baseII" ?

por Ana Laura Guimarães Qua 28 Set 2022, 18:02

Eu conseguiria resolver essa questão utilizando

x . BC / 2 = (x-4).2/2 + (2 + BC).4/2 ?

por catwopir Qua 28 Set 2022, 18:21

Ana Laura Guimarães escreveu:
catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8
Fiquei com algumas dúvidas

I - como você chegou em x=4(2+√2). No meu não deu esse valor ;[

II - Por que você considerou S_ABC = 2A ? (área do trapézio = área do triângulo ADE)

III - "a/2a = 4/BC²" essa semelhança aqui é "áreaI/ áreaII = base I/ baseII" ?

I - Na imagem tem a semelhança de triangulo, e usei o fato que a constante de proporcionalidade também vale pra área, desde que aquela esteja ao quadrado.

Como o triangulo ABC é semelhante ao ADE, podemos usar essa ideia de proporcionalidade:

x-4/x=k <- razão dita acima.
podemos usar essa razão pra relacionar as áreas, desde que eleve ao quadrado (isso é a parte de teoria).

II - Um dos postulados da geometria diz que se separamos uma figura, temos que a soma das áreas separadas é igual às áreas juntas.

Então, separei o triângulo ABC em duas partes: trapézio e triângulo, podemos somar as áreas.

III - Usei a ideia de proporção dita acima.
relacionei o triangulo ABC com ADE novamente.
DE/BC=K
A/2A=k²

Se ficou ainda alguma duvida, será uma honra sana-las.

por Ana Laura Guimarães Qui 29 Set 2022, 07:25

catwopir escreveu:
Ana Laura Guimarães escreveu:
catwopir escreveu:Aoba!

OBS: DE//BC, pois é um trapézio.

achando o valor de x

x=4(2+√2).

podemos fazer a mesma coisa pra achar BC.
a/2a=4/BC² ->BC²=8 -> BC=2√2

agora basta fazer base.altura/2
(8+4√2)2√2/2
8√2+8
Fiquei com algumas dúvidas

I - como você chegou em x=4(2+√2). No meu não deu esse valor ;[

II - Por que você considerou S_ABC = 2A ? (área do trapézio = área do triângulo ADE)

III - "a/2a = 4/BC²" essa semelhança aqui é "áreaI/ áreaII = base I/ baseII" ?

I - Na imagem tem a semelhança de triangulo, e usei o fato que a constante de proporcionalidade também vale pra área, desde que aquela esteja ao quadrado.

Como o triangulo ABC é semelhante ao ADE, podemos usar essa ideia de proporcionalidade:

x-4/x=k <- razão dita acima.
podemos usar essa razão pra relacionar as áreas, desde que eleve ao quadrado (isso é a parte de teoria).

II - Um dos postulados da geometria diz que se separamos uma figura, temos que a soma das áreas separadas é igual às áreas juntas.

Então, separei o triângulo ABC em duas partes: trapézio e triângulo, podemos somar as áreas.

III - Usei a ideia de proporção dita acima.
relacionei o triangulo ABC com ADE novamente.
DE/BC=K
A/2A=k²

Se ficou ainda alguma duvida, será uma honra sana-las.

Perfeito, muito obrigada!!