Derivadas parciais e regra da cadeia

01. a) Sejam f e g funções diferenciáveis. Mostre que a função u(x,t)= f(x+at)+g(x-at), com a diferente de 0, satisfaz a equação da onda u_tt = (a^2)(u_xx)


[size=10][size=13]Infelizmente não tenho o gabarito
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Basta calcular as derivadas de \(u(x,t)\) e verificar que elas satisfazem a equação fornecida. Pra facilitar escrevemos
\( \displaystyle \begin{array}{l}
r(x,t) = x + at \\
s(x,t) = x - at
\end{array} \)
Ou seja, \(u(x,t) = f(r(x,t)) + g(s(x,t))\)

Assim, derivando em relação a \(x\), pela regra da cadeia segue que:
\(u_x = f'(r(x,t)) \cdot r_x(x,t) + g'(s(x,t)) \cdot s_x(x,t)\)

Visto que \( r_x(x,t) = s_x(x,t) = 1\) temos
\(u_x(x,t) = f'(r(x,t)) + g'(s(x,t)\)

Derivando novamente em relação a \(x\) obtemos:
\(u_{xx}(x,t) = f''(r(x,t)) \cdot r_x(x,t) + g''(s(x,t)) \cdot s_x(x,t) \implies \)
\( \boxed{u_{xx}(x,t)= f''(r(x,t)) + g''(s(x,t))}\)

Por outro lado, derivando em relação a \(t\), teremos
\(u_t = f'(r(x,t)) \cdot r_t(x,t) + g'(s(x,t)) \cdot s_t(x,t)\)

Visto que \( r_x(x,t) = a\) e \(s_x(x,t) = -a\) temos 
\(u_t(x,t) = a\cdot f'(r(x,t)) -a \cdot g'(s(x,t)\)

derivando novamente
\(u_{tt}(x,t) =a\cdot  f''(r(x,t)) \cdot r_t(x,t) -a \cdot g''(s(x,t)) \cdot s_t(x,t) \implies \)
\(  \boxed{ u_{tt}(x,t) =a^2 \cdot f''(r(x,t)) + a^2 \cdot g''(s(x,t))}\)

Comparando as expressões obtidas para \(u_{xx}(x,t)\) e \(u_{tt}(x,t)\) concluímos que
\(\displaystyle \boxed{ u_{tt}(x,t) = a^2 \cdot u_{xx}(x,t)}\)