DDP nos pontos A e B

Calcule a diferença de potencial entre dois pontos A e B devido a uma linha infinita carregada.

PS.: Não encontrei a resposta :/

Va -Vb = 2λK ln(rA/rB)

Onde λ é densidade linear de carga em (C/m) e

K = 1/(4Πε) ≈ 10^10 Nm²/C²

Adeilson,



Essa, pra explicar você tem que saber:

1) A Lei de Gauss e o uso de Superfícies Gaussianas

2) Definições de Campo Elétrico

3) Definições de Potencial Elétrico

4) Derivadas e Integrais

5) Gradientes e Divergentes...

Pelo ensino médio você pode "chegar" ao campo elétrico próximo a um fio  infinito e com densidade linear de carga λ.

Envolvendo esse fio com uma superfície cilíndrica de raio r, você pode determinar o campo nesse ponto distando r do fio.

Por simetria e bom-senso você chega a conclusão que só há campos elétricos radiais, normais à superfície lateral do cilindro, e não há campo elétrico nas duas bases do cilindro.

Sendo a área lateral do cilindro 2Πrh e usando a Lei de gauss:

E* A = Q/ε

E = hλ/(2Πεrh)

Independente de o fio tender ao infinito os h's se cancelam:

E = λ/(2Πεr)

O campo elétrico em uma dimensão é a derivada do Potencial elétrico.

Quando derivamos c*ln(x) achamos c/x

Logo, o que que derivado da c/x ? É c*ln(x) + constante

Podemos escrever  λ/(2Πε) = c

Então E = c/r

O que que derivado dá E = c/r ?

É c*ln(r) + constante

Então:

Va = c*ln(ra) + cte.

Vb =c* ln(rb) + cte.

Va - Vb = c(ln(ra/rb))

Va - Vb = (λ/(2Πε))*ln(ra/rb)

Se em vez de ε usarmos a constante K, teremos:

K = 1/(4Πε)

E aí fica:

Va -Vb = 2λK ln(rA/rB)

Estranho... é de uma lista de exercícios de ensino médio, eu entendi mais ou menos, mas de qualquer maneira obrigado

Por Gauss podemos chegar a expressão do Campo Elétrico.

Mas paramos aí, já que no EM, excetuando-se para campo elétrico uniforme, não relacionamos o potencial elétrico V ao campo elétrico E, o que é visto somente no ES.

O que você tem do ensino médio é só o potencial elétrico devido a uma carga pontual Q a uma distância r:

V = kQ/r

E, quando E é constante (uniforme):

V = |E|r

A relação para um campo elétrico E que não varia no tempo,em E³ é:

E = –∇V

Onde ∇V é o gradiente de V, ou grad(V) e ∇ é lido "nabla" ou "del".

Em uma única dimensão, E¹, temos:

E = -idV/dx

e

|E| = |dV/dx|

Você tem uma linha "infinita" supostamente carregada homogeneamente, com densidade linear de carga λ (C/m) constante.

Sendo o potencial elétrico uma grandeza escalar, você teria que fazer uma somatória das contribuições individuais de cada elemento infinitesimal "∆x" de fio, percorrendo-o de -∞ a +∞ , ou, por simetria de 0 a +∞ e dobrando o resultado...

Ao fazer isso, colocando a distância "r" do elemento infinitesimal de carga "∆Q" e o próprio "∆Q" em função de "∆x", você teria que trabalhar com limites e acharia alguma somotária que seria similar ao desenvolvimento em série dos logaritmos naturais (neperianos)( os que usam a base "e"= 2,718....)

λ = ∆Q/∆x (densidade linear de carga)

∆Q = λ∆x

Se "ro" for a menor distância do ponto "A" ao fio (perpendicular ao fio a partir do ponto A) as outras "infinitas" distâncias "r1", "r2", ... poder ser relacionadas assim:

ri = ro/cos(φi)

x = ro/sen(φi)

Onde φi é cada ângulo que cada "ri" faz com "ro".

Assim ficaríamos com uma função só com uma variável independente, φ, faríamos o somatório de -90° a +90°, ou, por simetria, de 0° a 90°, duplicando o resultado.

Bem, chegaríamos, raciocinando, à expressão de diferença de potencial entre dois pontos bem próximos a um fio bem grande, que se "aproxima" da situação hipotética de "fio infinito".

Caso você se interesse, mostro os detalhes...

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Muito obrigado riahan!

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Corrigindo... Obrigado MESTRE Jedi agora rsrs \o/

Continuo sendo um eterno aprendiz !

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