teorema do valor médio

por William Minerva Sáb 02 Jul 2022, 19:24

A função [latex]f(x) = \frac{x}{x^2+1}[/latex] satisfaz as condições exigidas pelo teorema do valor médio? Caso satisfaça, encontre os valores de c no intervalo [-2,2].

Eu tentei encontrando os pontos (-2, -2/5) e (2, 2/5) e determinando uma reta r que passa por esses dois pontos, que é da forma [latex]y = \frac{1}{5}x[/latex]. Como faço para encontrar valores de c tal que as retas contendo c são paralelas a essa reta r? Eu pensei que pra essas retas contendo c serem paralelas a r então elas teriam que ter o mesmo coef. angular da reta r. Pra isso eu teria que derivar a função e igualar a 1/5?

Vou postar uma foto de uma construção que fiz no GeoGebra pra mostrar o que estou querendo dizer.

por **Elcioschin** Dom 03 Jul 2022, 12:53

Sim:

y = x/(x² + 1) --> y = x.(x² + 1)-¹

y' = x.[x² + 1)-¹]' + (x² + 1)-¹.(x)'

y' = - 2.x²/(x² + 1)² + 1/(x² + 1)

y' = - 2.x²/(x + 1)² + (x² + 1)/(x² + 1)²

y' = (1 - x²)/(x² + 1)² = 1/5 ---> 5 - 5.x² = x² + 2.x + 1 ---> 3.x² + x - 2 = 0

Raízes ---> x = -1 e x = 2/3

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