Teorema do Valor Médio

por PedroCunha Sáb 09 maio 2015, 10:34

Olá, amigos.

Como provar que \\ e^x \geq x+1 utilizando o Teorema do Valor Médio?

Abraços,
Pedro

por PedroCunha Dom 10 maio 2015, 18:11

por **Jader** Dom 10 maio 2015, 18:50

Tome

$f(x)=e^{x}\\\\ f'(x)=e^{x}$

Vamos considerar dois casos, o primeiro quando pegamos um intervalo (a,b) com a,b≥0 de tal forma que exista um c∈(a,b) que satisfaz as condições do TVM. No segundo vamos considerar um outro intervalo (a,b) agora com a,b≤0 de tal forma que exista um c∈(a,b) que satisfaz as condições do TVM.

i) Dado o intervalo (a,b) com a,b≥0 e temos que nessas condições f'(x)≥1, então peguemos c∈(a,b) tal que:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}\geq 1\\\\ e^{b}-e^{a}\geq b-a\Leftrightarrow e^{b}\geq e^{a}+b-a\\\\ Fazendo:a=0,b=x\\\\ \therefore e^{b}\geq e^{a}+b-a\Rightarrow e^{x}\geq x+1$

ii) Dado o intervalo (a,b) com a,b≤0 e temos que nessas condições 0
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}\leq 1\\\\ e^{b}-e^{a}\leq b-a\Leftrightarrow e^{a}\geq e^{b}-b+a\\\\ Fazendo:a=x,b=0\\\\ \therefore e^{a}\geq e^{b}-b+a\Rightarrow e^{x}\geq x+1$

por PedroCunha Dom 10 maio 2015, 20:30

Valeu, companheiro.

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