Manipulação algébrica envolvendo retas

por **qedpetrich** Qua 12 Jan 2022, 12:46

A equação 12x² + y² - 7xy + 2x - y - 2 = 0 representa duas retas. Quais são as retas?

Gabarito: (3x - y - 1).(4x - y + 2) = 0

Como vocês fariam essa manipulação algébrica? Valeu!

por joaoZacharias Qua 12 Jan 2022, 13:45

Olá qedpetrich;

Uma ideia é utilizar baskhara como intermediário:

[latex]y^2 - (7x+1)y+(12x^2 +2x -2) = 0 \implies y = \frac{7x +1 \pm \sqrt{(7x+1)^2 - 4(12x^2 +2x -2)}}{2} \implies

(2y -7x -1)^2 = (\sqrt{x^2 +6x + 9})^2 \implies (2y-7x -1)^2 = (x+3)^2[/latex]

Por propriedade de diferença de quadrados segue que:

[latex](2y-7x -1)^2 - (x+3)^2 = 0 \implies

(2y -6x +2)(2y -8x -4) = 4\cdot (3x - y - 1) (4x - y + 2) = 0 [/latex]

Bons estudos Smile