binômio de newton
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binômio de newton
por catwopir Qui 06 Jan 2022, 13:48
(ITA-95) Para cada n e N, temos que
[latex]1-\binom{4n}{2}+\binom{4n}{4}-...-\binom{4n}{4n-2}+1[/latex]
é igual a
[latex]a)(-1)^n2^{2n} [/latex]
[latex]b)2^{2n}[/latex]
[latex]c)(-1)^n2^n[/latex]
[latex]d)(-1)^{n-1}2^{2n}[/latex]
[latex]e)(-1)^{n-1}.2^n[/latex]
gab letra a
o jeito que o livro resolveu foi usando número complexos... gostaria de saber como ele teve a ideia de usar essa ideia... no livro ele simplesmente joga essa informação...
agradeço desde já
[latex]1-\binom{4n}{2}+\binom{4n}{4}-...-\binom{4n}{4n-2}+1[/latex]
é igual a
[latex]a)(-1)^n2^{2n} [/latex]
[latex]b)2^{2n}[/latex]
[latex]c)(-1)^n2^n[/latex]
[latex]d)(-1)^{n-1}2^{2n}[/latex]
[latex]e)(-1)^{n-1}.2^n[/latex]
gab letra a
o jeito que o livro resolveu foi usando número complexos... gostaria de saber como ele teve a ideia de usar essa ideia... no livro ele simplesmente joga essa informação...
agradeço desde já
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Re: binômio de newton
por eduardodudu101 Sáb 08 Jan 2022, 00:42
Veja que a expressão se caracteriza por uma soma de binomiais,que nos lembra a expansão de um binômio.
Além disso,o sinal dos binomiais alterna,lembrando as potências reais de i,conforme o denominador dos binomiais([latex]i^^{2} = -1[/latex] e [latex]i^^{4} = 1[/latex]).
Logo,efetuando a expansão de [latex](1+i)^^{4n}[/latex]:
[latex](1+i)^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
Colocando em evidência para tentar utilizar a forma trigonométrica:
[latex]\left [ \sqrt2\left ( \frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2} \right ) \right ]^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex](2^^{\frac{1}{2}})^^{4n}cis\left ( \frac{\pi}{4} \right )^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \binom{4n}{0} + \binom{4n}{1}i - \binom{4n}{2}i^^{2} + \cdots - \binom{4n}{4n - 2}i^^{(4n-2)} - \binom{4n}{4n-1}i^^{(4n-1)}+ \binom{4n}{4n}i^^{(4n)}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \binom{4n}{0} + \binom{4n}{1}i - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n - 2} - \binom {4n}{4n -1} + \binom{4n}{4n}[/latex]
Como a expressão faz referência aos binomiais pares,que correspondem a parte real da expansão,tem-se:
[latex]2^^{2n}cos(n\pi) = \binom{4n}{0} - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + \binom{4n}{4n}[/latex]
Dependendo do valor de n,[latex]cos(n\pi)[/latex] pode ser -1 ou 1:
[latex]2^^{2n}(-1)^^{n} = \binom{4n}{0} - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + \binom{4n}{4n}[/latex]
[latex]2^^{2n}(-1)^^{n} = 1 - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + 1[/latex]
Além disso,o sinal dos binomiais alterna,lembrando as potências reais de i,conforme o denominador dos binomiais([latex]i^^{2} = -1[/latex] e [latex]i^^{4} = 1[/latex]).
Logo,efetuando a expansão de [latex](1+i)^^{4n}[/latex]:
[latex](1+i)^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
Colocando em evidência para tentar utilizar a forma trigonométrica:
[latex]\left [ \sqrt2\left ( \frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2} \right ) \right ]^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex](2^^{\frac{1}{2}})^^{4n}cis\left ( \frac{\pi}{4} \right )^^{4n} = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \sum_{k=0}^{4n}\binom{4n}{k}i^^{k}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \binom{4n}{0} + \binom{4n}{1}i - \binom{4n}{2}i^^{2} + \cdots - \binom{4n}{4n - 2}i^^{(4n-2)} - \binom{4n}{4n-1}i^^{(4n-1)}+ \binom{4n}{4n}i^^{(4n)}[/latex]
[latex]2^^{2n}cis(n\pi) = \binom{4n}{0} + \binom{4n}{1}i - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n - 2} - \binom {4n}{4n -1} + \binom{4n}{4n}[/latex]
Como a expressão faz referência aos binomiais pares,que correspondem a parte real da expansão,tem-se:
[latex]2^^{2n}cos(n\pi) = \binom{4n}{0} - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + \binom{4n}{4n}[/latex]
Dependendo do valor de n,[latex]cos(n\pi)[/latex] pode ser -1 ou 1:
[latex]2^^{2n}(-1)^^{n} = \binom{4n}{0} - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + \binom{4n}{4n}[/latex]
[latex]2^^{2n}(-1)^^{n} = 1 - \binom{4n}{2} + \cdots - \binom{4n}{4n-2} + 1[/latex]
eduardodudu101- Jedi
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