Queda livre

Uma longa barra metálica, fina e retilínea está em repouso na vertical, paralela ao eixo Z, com sua extremidade inferior localizada no ponto de coordenadas (1,1,5) m. No momento em que a barra é solta e começa a cair sem sofrer resistência do ar, uma hélice em formato de cruz, formada por 2 hastes retilíneas longas que repousam sobre os eixos horizontais X e Y e que se interceptam em (0,0,0), começa a girar sobre o plano XY com aceleração angular constante de módulo 2π/3 rad/S2. A que distância de sua extremidade inferior, medida em metros, a barra é atingida pela hélice? Considere g = 10m/s2.
Alternativas

A)1,25
B)3.75
C)4,15
D)5,45
E)6,25

Resposta: E

A barra está caindo de 5m de altura. Achando quando ela toca no ponto (1,1,0): [latex]S = S_o+V_o\cdot t+\dfrac{at^2}{2}\implies 0 = 5-\dfrac{10t^2}{2}\implies t = 1[/latex]


Analisando agora a rotação da hélice:



Para uma haste encontrar a posição da barra, ela deve rodar 45 graus ou π/4 radianos. Daí ela entrará na configuração seguinte:






Observe que após os primeiros π/4 radianos, basta que ela rode outros 90 graus ou π/2 radianos para encontrar a posição da barra novamente. Ou seja, se [latex]\Delta\phi[/latex] é o deslocamento angular, os dois objetos se encontram quando [latex]\Delta\phi = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\cdot n = \dfrac{\pi}{4}\cdot\left(1+2n \right ), n\in \mathbb{Z}[/latex].

O deslocamento angular é dado por [latex]\Delta\phi = \dfrac{\alpha t^2}{2} = \dfrac{2\pi\cdot t^2}{3\cdot 2} = \dfrac{\pi\cdot t^2}{3}[/latex]. Igualando os dois dados encontrados:


[latex] \dfrac{\pi\cdot t^2}{3}=\dfrac{\pi}{4}\cdot\left(1+2n \right )\implies t^2=\dfrac{3}{4}\cdot\left(1+2n \right )[/latex]


Precisamos de [latex]t>1 \implies t^2>1[/latex]. Isso ocorre no segundo encontro, com n=1: [latex]t^2=\dfrac{3}{4}\cdot\left(1+2n \right ) \implies t^2 = \dfrac{3}{4}\cdot\left(1+2\cdot1 \right ) = \dfrac{9}{4}[/latex]. Substituindo na equação da altura em função do tempo:




[latex]S = S_o+V_o\cdot t+\dfrac{at^2}{2} \implies S = \dfrac{10\cdot 9}{2\cdot 4}= \dfrac{45}{4} = \dfrac{45\cdot25}{100} = 11,25[/latex]




Lembrando que aí dentro estão os 5m de queda. Temos que a barra é atingida aos [latex] 11,25 -5 = 6.25[/latex].


Creio que seja isso  .