(CN 1984) - Equação do 2o Grau

Sendo P > 3, podemos a firmar que o trinômio y = 2x² - 6x - P :

a) se anula para dois valores positivos de x;
b) se anula para valores de x de sinais contrários;
c) se anula para dois valores negativos de x;
d) não se anula para valores de x real;
e) tem extremo positivo.

Gabarito:

castelo_hsi escreveu:Sendo P > 3, podemos a firmar que o trinômio y = 2x² - 6x - P :

a) se anula para dois valores positivos de x;
b) se anula para valores de x de sinais contrários;
c) se anula para dois valores negativos de x;
d) não se anula para valores de x real;
e) tem extremo positivo.

Gabarito:

Olá Castelo, vamos lá a sua dúvida!!
nessa questão podemos usar apenas a ideia de construção de graficos da função do segundo grau!

irei dar o mesmo exemplo de graficos que dei em sua dúvida anterior:

Veja que toda vez que a imagem (eixo y) é zero temos determinados valores de x denominados raízes da função! 

Retomando a questão proposta, é interessante que vc saiba a função de cada termo na determinação de um gráfico:

seja f(x) = ax^2 + bx + c 
a = indica a concavidade da função (concavidade para cima = valores positivos, para baixo valores negativos)
b = indica se a função corta o eixo y de forma crescente (valores postivos) ou decrescente (valores negativos)
c = indica o local do eixo y em que a função corta

vamos agora analisar a função exposta no exercício
y = 2x² - 6x - P
2 é > 0 logo concavidade para cima
(-6) < 0, logo ela corta o eixo y de maneira decrescente
-P, tal que P sempre será >3 temos então que:
-3, -4, ...., sempre serão <0 para todo P que atenda o intervalo determinado

Plotando o grafico fica evidente que para quaisquer valores de P (restringidos por P>3) sempre teremos duas raízes, tais que uma é positiva e outra negativa!!

Qualquer dúvida permaneço às ordens!!
Att: João Victor

Outro modo:

∆ = b² - 4.a.c ---> ∆ = 6² - 4.2.(-p) ---> ∆ = 36 + 8.p

Como p > 3 ---> ∆ > 36 ---> √∆ > 6 ---> √(36 + 8.p) > 6

x = [6 ±­ √(36 + 8.p)]/2.2 ---> Uma raiz positiva e outra negativa

Obrigado pela ajuda, colegas. 

Acabei de notar que a soma (S) das raízes é um valor maior que zero. Além disso, se p > 3, então -p é negativo, isto é, o produto das raízes (P) é um número negativo. Em resumo:

S > 0 e -P < -3. Logo, uma raiz é positiva e outra será negativa.