Polinômios
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Polinômios
por Pedro900 Sex 09 Jul 2021, 15:33
Se −2 + 3i e √2 são raízes de uma equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então podemos afirmar que:
A) 3 − 2i também é raiz da mesma equação.
B) 2 − 3i também é raiz da mesma equação.
C) o polinômio é do 3º grau.
D) −3i também é raiz da mesma equação.
E) −2 − 3i e −√2 também serão raízes da mesma equação.
Alguém pode me ajudar nessa questão o gabarito está falando que é letra E , mas o correto não seria letra C , pois o conjugado do número complexo também é uma raiz assim a equação possui 3 raízes sendo do terceiro grau.
Gabarito: E
A) 3 − 2i também é raiz da mesma equação.
B) 2 − 3i também é raiz da mesma equação.
C) o polinômio é do 3º grau.
D) −3i também é raiz da mesma equação.
E) −2 − 3i e −√2 também serão raízes da mesma equação.
Alguém pode me ajudar nessa questão o gabarito está falando que é letra E , mas o correto não seria letra C , pois o conjugado do número complexo também é uma raiz assim a equação possui 3 raízes sendo do terceiro grau.
Gabarito: E
Última edição por Pedro900 em Sex 09 Jul 2021, 16:55, editado 1 vez(es)
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Re: Polinômios
por marcosprb Sex 09 Jul 2021, 16:28
O enunciado não disse que −2 + 3i e √2 são as únicas raízes do polinômio.
Se um complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado também o é.
Se um número irracional é raiz de um polinômio de coeficientes racionais, seu simétrico também o é (se √2 é raiz, -√2 também será)
Portanto, esse polinômio tem no mínimo 4 raízes.
Se um complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado também o é.
Se um número irracional é raiz de um polinômio de coeficientes racionais, seu simétrico também o é (se √2 é raiz, -√2 também será)
Portanto, esse polinômio tem no mínimo 4 raízes.
marcosprb- Mestre Jedi
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Re: Polinômios
por Elcioschin Sex 09 Jul 2021, 16:38
Raízes complexas e raízes irracionais, de polinômios com coeficientes reais, sempre aparecem aos pares, isto é sempre existe a raiz conjugada:
x1 = - 2 + 3.i ---> x2 = - 2 - 3.i
x3 = √2 ---> x4 = - √2
Se forem somente estas 4 raízes, teremos:
P(x) = [x - (-2 + 3.i)].[x - (-2 - 3.i)].[x - (+√2)].[x - (-√2)]
P(x) = [(x + 2) - 3.i].[(x + 2) + 3.i].(x - √2).(x + √2)
P(x) = [(x + 2)² - (3.i)²].(x² - 2)
P(x) = (x² + 4.x + 4 + 9).(x² - 2)
P(x) = (x² + 4.x + 13).(x² - 2)
P(x) = x⁴ + 4.x³ + 11.x² - 8.x - 26
x1 = - 2 + 3.i ---> x2 = - 2 - 3.i
x3 = √2 ---> x4 = - √2
Se forem somente estas 4 raízes, teremos:
P(x) = [x - (-2 + 3.i)].[x - (-2 - 3.i)].[x - (+√2)].[x - (-√2)]
P(x) = [(x + 2) - 3.i].[(x + 2) + 3.i].(x - √2).(x + √2)
P(x) = [(x + 2)² - (3.i)²].(x² - 2)
P(x) = (x² + 4.x + 4 + 9).(x² - 2)
P(x) = (x² + 4.x + 13).(x² - 2)
P(x) = x⁴ + 4.x³ + 11.x² - 8.x - 26
Última edição por Elcioschin em Sex 09 Jul 2021, 16:41, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Polinômios
por MarioCastro Sex 09 Jul 2021, 16:39
marcosprb escreveu:O enunciado não disse que −2 + 3i e √2 são as únicas raízes do polinômio.
Se um complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado também o é.
Se um número irracional é raiz de um polinômio de coeficientes racionais, seu simétrico também o é (se √2 é raiz, -√2 também será)
Portanto, esse polinômio tem no mínimo 4 raízes.
Lembrando que o número irracional tem que ser da forma
[latex] a + b\sqrt[n]{c}[/latex]
____________________________________________
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Sir Winston Churchill
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Re: Polinômios
por Pedro900 Sex 09 Jul 2021, 16:56
obrigado pela ajuda eu não sabia essa parte dos números irracionais.marcosprb escreveu:O enunciado não disse que −2 + 3i e √2 são as únicas raízes do polinômio.
Se um complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado também o é.
Se um número irracional é raiz de um polinômio de coeficientes racionais, seu simétrico também o é (se √2 é raiz, -√2 também será)
Portanto, esse polinômio tem no mínimo 4 raízes.
Pedro900- Recebeu o sabre de luz
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