EN Log e expoente

por Rafael Gusmão Ter 20 Abr 2021, 04:29

Seja n um número natural tal que
[latex]2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + ... + 2^{n} = 8176 [/latex]

e m o menor natural tal que
[latex]\frac{m!}{2.4.6. ... 2m} < \frac{1}{6^{^{2.log_{6}^{40}}}}[/latex]

m.n vale:

a) 120
b)124
c) 130
d)132
e)136

Gabarito:

Minha parte da resolução:

16 + 32 + 64 + ... + 2^n = 8176

PG de razão q = 2

[latex]Sn = \frac{a1.(q^{n}-1)}{q-1}\\ Sn = \frac{16(2^{n}-1)}{2-1}\\ 8176 = 16 (2^{n}-1) \\ 16.2^{n}-16 = 8176\\ 2^{n} = 512\\ n = 9 [/latex]

[latex]\frac{m(m-1)!)}{2.4.6 . ... . 2m} < \frac{1}{6^{log6^{40^{2}}}} \therefore \frac{(m-1)!}{4(4.6.8.10. ... .)} < \frac{1}{40^{2}} \\ (m-1)! < \frac{ (6.8.10. ... )}{100} [/latex]

Gostaria de saber como eu resolvo essa última parte para achar o m

por Matemathiago Seg 26 Abr 2021, 22:09

m!/(2*4*6*...*2m) = m!/[m!*(2^m)]
= 1/2^m

Logo:

1/(2^m) < 1/40²

2^m> 40²

m> log 40² na base 2
m> 2 log40 na base 2
Logo, o menor inteiro m q satisfaz é m=11

Quanto ao n:
O n da fórmula da PG n é o msm da questao. Ele significa a quantidade de termos, q no caso é n-3, pq perceba q o expoente da PG começa no 4.

Logo, o 9 q vc achou é na vdd n-3
Ou seja: n = 12

Daí m*n = 12*11 = 132

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