O sistema de equações tem solução se e só se...

O sistema de equações




tem solução se e só se o valor de a é:

a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 2 
e) zero

Tentei resolver com a regra de Cramer, mas, quando substituo as soluções na coluna do "x", chego em determinante nulo. Como vocês resolveriam?

Determinante nulo quer dizer que o sistema pode ser impossível ou possível e INDETERMINADO. Note que ele não quer uma trio (x,y,z), apenas que o sistema seja possível.

Como já calculou o determinante vou mostrar escalonando como tornar o sistema possível:


x + y - z = 3 
x - y + z = 1
x + 3y - 3z = a

Note que se eu somar a primeira com a segunda:

2x = 4
x = 2.

Substituindo x na 2 e 3:

z - y = 1 - 2 = -1
3y - 3z = a - 2

y - z = 1
3(y - z) = a - 2 

Então:

a - 2 = 3
a = 5.

Mathematicien escreveu:O sistema de equações




tem solução se e só se o valor de a é:

a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 2 
e) zero

Tentei resolver com a regra de Cramer, mas, quando substituo as soluções na coluna do "x", chego em determinante nulo. Como vocês resolveriam?

Boa noite!

Montando o sistema:
[latex]\begin{cases}\begin{array}{rrr|rcr}1 & 1 & -1 & 3\\1 & -1 & 1 & 1\\1 & 3 & -3 & a\end{array}\end{cases}[latex]

Fazendo o escalonamento:
[latex]\begin{cases}\begin{array}{rrr|rcr}1 & 1 & -1 & 3 \\0 & -2 & 2 & -2 & \leftarrow & L_2=L_2-L_1\\0 & 2 & -2 & a-3 & \leftarrow & L_3=L_3-L_1\end{array}\end{cases}[latex]

[latex]\begin{cases}\begin{array}{rrr|rcr}1 & 1 & -1 & 3 \\0 & -2 & 2 & -2 \\0 & 0 & 0 & a-5 & \leftarrow & L_3=L_3+L_2\end{array}\end{cases}[latex]

Então, para que tenha solução, a última equação tem que ter a-5=0, então, a=5

Espero ter ajudado!