Análise Combinatória e Probabilidade

Uma loja vende brinquedos de dez tipos, dentre eles o tipo bola de futebol. De quantas maneiras uma pessoa pode comprar vinte brinquedos: 
a) sem restrições? 
b) se ela leva pelo menos um brinquedo de cada tipo? 
c) se ela leva pelo menos quatro bolas de futebol?

a) para esse caso, usa-se o conceito de combinação completa. Para entender melhor, vou usar um exemplo menor. Imagine apenas 3 tipos de produto e a pessoa deseja comprar apenas 4 produtos. O número de maneiras que a pessoa pode comprar é a permutação com repetição da seguinte figura:
....||
onde cada pontinho representa um dos 4 produtos e os espaços entre os traços representam um dos 3 tipos de produto.
Perceba, portanto, que a fórmula da combinação completa é:
[latex]\frac{(p+n-1)!}{(n-1)!p!}[/latex], n=número de tipos de produto, p=numero de produtos comprados
Dessa forma, a questão terá 20 pontinhos e 9 tracinhos (delimitam 10 espaços), e a resposta será:
[latex]\frac{(20+9)!}{20!.9!} = 20030010[/latex]

A forma mais formal, no entanto, de representar essa conta de pontinhos e tracinhos chama-se número de soluções inteiras e não negativas de uma equação, dado:

[latex]x_{1}+x_{2}+...+x_{n} = p[/latex]

b) para essa alternativa, basta subtrair do número de produtos o número de tipos de produto, já que sabe-se que ao menos um de cada terá. A representação seria assim:
..........  .|.|.|.|.|.|.|.|.|.
sendo que os pontos que estão dentro do espaço não sofrem a permutação, portanto não são contados.
A reposta será:
[latex]\frac{(10+9)!}{10!.9!} = 92378[/latex]

c) agora você vai subtrair 4 dos 20 pontinhos. Arbitrando que o espaço que delimita "bolas de futebol" seja o terceiro, o problema ficaria com essa cara:
................  ||....|||||||
e novamente:
[latex]\frac{(16+9)!}{16!.9!} = 362880[/latex]