Escola Naval 2010

Os gráficos das funções reais f e g de variável real, definidas por  f(x)=[latex]4-x^2[/latex] e g(x)=[latex]\frac{5-x}{2}[/latex]interceptam-se nos pontos A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)), a≤b. Considere os polígonos CAPBD onde C e D são as projeções ortogonais de A e B respectivamente sobre o eixo x e P(x,y), a≤x≤b um ponto qualquer do gráfico de f. Dentre esses polígonos, seja ∆ , aquele que tem área máxima. Qual o valor da área de ∆, em unidades de área?
Resp: [latex]\frac{505}{64}[/latex]

Eu acheis os pontos [latex]A=(-1,3); B=(\frac{3}{2},\frac{7}{4}); C(-1,0); D=(\frac{3}{2},0); P=(x,4-x^{2})[/latex] , mas não estou chegando na área. Alguém pode ajudar-me?

Sabemos que a

Não consegui anexar a imagem e o texto juntos. Aqui vai o resto da resolução:

Sabemos que a

Sabemos que x está entre a e b. A área de APB será máxima quando a altura relativa a AB for máxima. Essa altura deve ser perpendicular a AB e a tangente a curva no ponto em que a altura a corta. Dessa forma sabemos que a tangente é paralela a AB. Derivando a equação da curva devemos achar para qual (x) o valor acha é igual ao coeficiente angular de AB.

-2x=-1/2     x=1/4

Agora sabemos as coordenadas de P(1/4 , 63/16)

A altura relativa a AB será a distância de P até AB: 5√5/8

O tamanho AB é 5√5/4

Portanto a área da figura é área de ABCD mais a área de APB.
Área total:

95/16 + (5√5/(5√5/4)(1/2)

Área total: 505/64

Muito obrigada!