Relações métricas no triângulo retângulo

por may-amorimwinxplena Ter Set 15 2020, 22:28

Em um triângulo ABC, as medianas que partem de A e de B, respectivamente, são perpendiculares entre si. Se BC=8 cm e AC=6cm, calcule a medida do lado AB.

Gabarito: 2 raíz de 5cm.

por **Medeiros** Ter Set 15 2020, 23:32

lembrar que:
- o encontro das medianas é o baricentro;
- o baricentro divide a mediana na razão 2 : 1 a partir do vértice.

Relações métricas no triângulo retângulo Scre1056

por **Christian M. Martins** Qua Set 16 2020, 00:01

No triângulo, o segmento que vai do vértice ao baricentro mede o dobro do segmento que vai do baricentro ao lado.

Chamando de O o baricentro; de D e E, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AC e BC; e de x e y, respectivamente, os comprimentos dos segmentos OE e OD; se tem os triângulos:
AOD, de catetos 2x e y e hipotenusa 3;
BOE, de catetos x e 2y e hipotenusa 4.

De forma que:
No triângulo AOD, por teorema de Pitágoras: 3² = (2x)² + y² (I)
No triângulo BOE, por teorema de Pitágoras: 4² = x² + (2y)² (II)

Resolvendo o sistema de equações:
x = (2√3)/3
y = √(11/3)

Note, ainda, o triângulo AOB, de catetos 2x e 2y e hipotenusa AB. Nele, por teorema de Pitágoras:
AB² = (2x)² + (2y)² -> AB = 2√(5)